Úlohy na dobrou noc

DEN PRVNÍ

1. Napište 1000 jako a) devět devítek; b) pět devítek; c) šest trojek; d) třináct pětek.

2. Kolik trojciferných čísel dělitelných devíti je možné napsat pomocí cifer 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Cifry se mohou opakovat.

3. Jaký obsah má útvar na obrázku?

4. Najděte všechna celá čísla x, pro která jsou obě čísla (x-3)2-2 i (x-7)2+1 prvočísla.

5. Lichoběžníku ABCD s delší základnou AB lze opsat i vepsat kružnici. Určete délky jeho základen víte-li, že jeho obsah je 600 cm^{2} a obvod 100 cm.

DEN DRUHÝ

1. Jsou dané dvě kolmé přímky p, q. Zvolte v rovině 11 bodů tak, že rovnoběžky s p a q rozdělí rovinu na a) 26, b) 40, c) 63 částí.

2. Kolika způsoby lze číslo 124 napsat jako součet 8 přirozených nenulových čísel?

3. Princ se rozhodl zabít 10 draků. Nebyly to jen tak obyčejní draci, první měl 11, druhý 22, třetí 33, ... desátý 1010 hlav. A navíc, vždy když usekl princ hlavu prvnímu drakovi, druhému narostla, když druhému, třetímu narostla ... a když usekl hlavu desátému, tak hlava narostla prvnímu drakovi. Pokud už měl drak 0 hlav, byl mrtvý a hlavy už mu nedorůstaly. Kolikrát nejméně musí princ seknout?

4. Najděte čtyřciferné číslo, kde první cifra je třetina druhé, třetí je součet první a druhé a čtvrtá cifra je trojnásobek druhé.

5. Máme konvexní čtyřúhelník, pro který jsou úhly DAB, ABC, ACD pravé. A dále víme, že |AB|=4, |BC|=3. Kolik je |CD|?

DEN TŘETÍ

1. Vyřešte algebrogram:

AB * CD = EDF
* + -
CE + BA = AC

ECA + AG = EHE

2. Když se vyberou dvě mé děti, je stejná pravděpodobnost, že mají stejné pohlaví, jako pravděpodobnost, že mají různé pohlaví a pravděpodobnost, že to budou dvě dívky je stejná, jako že náhodně vybrané dítě bude chlapec.Kolik mám dětí, pokud nejsem bezdětný?

3. Na klasických hodinách s malou a velkou ručičkou se občas stane, že velká a malá ručička jsou přesné proti sobě (např. v šest hodin). Určete kolik času uplyne mezi dvěma takovými okamžiky, předpokládáme-li stálý a rovnoměrný pohyb obou ručiček.

4. Obsah obdélníku je 4 cm^{2}, rozdíl délek stran je 3 cm. Kolik je jeho obvod?

5. Sestrojte trojúhelník ABC, pokud je dáno c = 5 cm, výška na a je 4 cm a \alpha = 60\deg. Vypočítejte \beta a b.

DEN ČTVRTÝ

1. Zjistěte koeficient u x^{3} ve výrazu (x-a)(x-b)\cdots(x-z).

2. Kolika způsoby mohu posadit lidi do autobusu (45 míst), pokud vím, že jsou mezi nimi dvě skupiny (12 a 33 lidí), které se vzájemně nesnáší a tak 2 příslušníci různých skupin nemohou sedět vedle sebe.

3. Nechť a je přirozené třinácticiferné číslo. Umažeme-li jeho první cifru a stejnou připíšeme za poslední číslici, vznikne třinácticiferné číslo, které je osmkrát menší. Určete a, je-li nejmenší možné.

4. Vsuneme-li mezi číslice dvojciferného čísla číslici 2, dostaneme jeho devítinásobek. Postavíme-li číslici 2 před něj, dostaneme rovněž devítinásobek. Jaké je to číslo?

5. Sestrojte trojúhelník ABC pokud je poloměr kružnice jemu opsané 4 cm, poloměr kružnice jemu vepsané 1 cm a jedna strana je dlouhá 6 cm.

DEN PÁTÝ

1. Najděte součin podobný 21 \times 87=1827, tj. součin, kde na obou stranách jsou stejné číslice.

2. Kolik musím vyzkoušet možností, pokud se chci dovolat Kájovi a pamatuji si jen prvních šest čísel a vím, že číslo je dělitelné 16.

3. Dokažte, že každá mocnina 5 se dá napsat jako součet dvou čtverců.

4. Po okruhu dlouhém 2550 metrů jezdí dva motocykly. Jedou-li proti sobě potkávají je každou minutu, jedou-li stejným směrem, potkávají se každých pět minut. Jak jedou rychle?

5. Sestrojte trojúhelník ABC pokud je dán bod V, průsečík výšek, bod S, střed kružnice opsané a Q, střed jedné z jeho těžnic.

DEN ŠESTÝ

1. Doplňte: 1\star_star() \times \star_star() = \star_star()\star1 + \star_star()\star10 = \star_star()\star1\star (Najděte všechna řešení)

2. Jdu po schodech, chodím po 1, po 2 nebo po 3 schodech, kolik možností mám na vylezení 10 schodů, v kolika případech stoupnu na 5. schod?

3. V elektrárně mají 1000 vypínačů, které obsluhují 1000 lamp. Když se stlačí n-tý vypínač, tak se přepnou všechny lampy, které jsou násobkem n (tj. když zmáčknu 7 vypínač, tak se přepnou lampy 7, 14, 21, ...). A přepnout znamená, že když lampa svítila, zhasne, když byla zhaslá, tak se rozsvítí. Na začátku byly všechny lampy zhaslé a dělníci stlačili všechny vypínače. Kolik lamp teď svítí?

4. Trojciferné přirozené číslo n má ciferný součet 15. Zapíšeme-li číslice tohoto čísla v opačném pořadí, dostaneme číslo, které je o 99 menší než číslo n. Dělíme-li se zbytkem prostřední číslici čísla n součtem jeho krajních číslic, dostaneme podíl 1 a zbytek rovněž 1. Určete n.

5. Sestrojte lichoběžník ABCD, je-li dáno: a, c, \alpha, \beta.

DEN OSMÝ

1. Součet čtyř neznámých prvočísel je 547 a rozdíl prvních dvou je 135. Určete všechna tato prvočísla, jsou-li mezi nimi prvočíselná dvojčata. Prvočíselná dvojčata jsou prvočísla, která se liší pouze o dva.

2. Skládám slova z písmen A, B, C. Slovo má význam pokud neobsahuje skupinu AA, BB, CA a BC. Kolik slov z 8 písmen má význam?

3. Dokažte, že když máme pět různých přirozených čísel, tak z nich můžeme vybrat 3, aby jejich součet byl dělitelný třemi.

4. Kdosi koupil 30 ptáků za 30 penízků. Za tři vrabce platil jeden peníz, za dvě hrdličky též jeden peníz a za jednoho holuba dva peníze. Kolik jakých ptáků koupil, když víme, že od všech měl aspoň jednoho?

5. Sestrojte lichoběžník ABCD se základnami AB a CD, je-li dáno součet jeho základen, délka úseček BD a AD a úhel sevřený úhlopříčkami.

DEN DEVÁTÝ

1. Je možné vepsat do čtverce 5x5 čísla tak, že součet všech je kladný a součet v každém čtverci 2x2 je záporný?

2. Balím si na tábor a chci si vzít 5 triček z 8 co mám doma, 3 tepláky ze 4, 2 šátky z 4 a nakonec 1 klobouk ze dvou. Kolik musím zvážit možností?

3. Kolik dvouciferných čísel má vlastnost, že součet čísla a čísla s obrácenými ciframi je druhá mocnina?

4. Obvod obdélníku je 82 cm, jeho úhlopříčka má 29 cm, jaké má obdélník strany?

5. Sestrojte tětivový čtyřúhelník ABCD, je-li dáno: strana a má 5 cm, strana b 1 cm, strana d 4 cm a úhel \alpha je 60°.

DEN DESÁTÝ

1. Najdi nejmenší trojciferné číslo, takové, že ciferný součet je prvočíslo a ciferný součin je třetí mocnina.

2. Podezřelé auto mělo SPZ (tvaru XXX aaaa, kde X písmeno a a číslo) z písmen F, W, B a obsahovalo 4 čísla, součet prvních dvou byl stejný jako druhých dvou a celkový ciferný součet byl o 1 menší než první dvojčíslí. Kolik možností SPZ mám?

3. Co je větší: 23456798 / 29876543, nebo 23456789 / 29876534. Vypočítejte bez násobení devítimístných čísel.

4. Ze dvou míst vzdálených od sebe 57 km jdou proti sobě dva turisté a potkají se za 6 hodin. Jakými rychlostmi se pohybují, jestliže jeden potřebuje na 9 km o 12 minut méně než druhý?

5. Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC pokud je dána délka odvěsny a a rozdíl úhlů \alpha - \beta.

DEN JEDENÁCTÝ

1. Čtyři děti Anička, Béďa, Cecilka a Danuška mají každý jedno zvířátko z těchto čtyř: pes, kočka, papoušek a kanárek. Kdo má jaké zvířátko, pokud víte, že: Dvě děvčata mají ptáčky. Cecilka je sousedka dítěte chovajícího papouška. Béďa chodí na jógu. Maminka Aničky nesouhlasí s chovem ptáčků. Anička se bojí psů.

2. Mám čísla od 1 do 5, kolik rostoucích posloupností z nich dokážu sestavit?

3. Paní měla 3 dcery a řekla, že součin jejich věků je 36 a součet jejich věků je číslo domu naproti. Pán na to odpověděl, že to mu nestačí. Na to paní dodala, že zapomněla říct, že ta nejstarší bydlí v prvním patře. Kolik je dcerám?

4. Cena časopisu byla snížena o tolik procent, kolik korun stál před snížením ceny. O kolik procent byla cena snížena, jestliže časopis po zlevnění stál 16 Kč?

5. Sestrojte deltoid je-li dáno a+b, úhel DAB a délka AC.

DEN DVANÁCTÝ

1. Na stole leží pět mincí. Druhá zleva je lícem nahoru, ostatní jsou lícem dolů. Vždy můžeme otočit 3 po sobě jdoucí mince. Můžeme dosáhnout toho, aby všechny byly lícem nahoru?

2. Dům má 10 pater, každé patro má 4 okna. V každém okně je nebo není člověk, pokud tam je tak je to buď tatínek, maminka, bratr a nebo sestra. V každém okně buď je a nebo není květina a každé okno má buď černý, hnědý nebo bílý rám a nebo ho nemá vůbec. Každá z těchto věcí se za den může změnit. Může každé okno vypadat jinak a jak dlouho?

3. Ve třech nádobách je 18 litrů vody. Polovinu vody z první nádoby přelili do druhé pak jednu třetinu vody z druhé do třetí, jednu čtvrtinu vody z třetí do první nádoby. Potom zůstalo ve všech nádobách stejné množství vody. Kolik bylo v každé nádobě vody původně?

4. Součet tří po sobě jdoucích přirozených čísel se rovná polovině součinu prvních dvou. Určete tato čísla.

5. Sestrojte trojúhelník ABC pokud je dáno, že výšky mají být 4 cm, 5 cm a 3,5 cm.

DEN TŘINÁCTÝ

1. Katka myslela na jedno přirozené číslo. Pokud je jeho cifra sudá, tak nakreslila na papír kolečko, když lichá, tak čtvereček. Postupně všechny cifry. Potom myšlené číslo vydělila dvěma. Pokud podíl je sudý, nakreslila na papír kolečko, pokud podíl je lichý, nakreslila čtvereček. Potom podíl znovu vydělila dvěma, a toto dělení dvěma opakovala dokud nedostala po dělení 1 jako podíl. Každý výsledek dělení označila výše popsaným způsobem zleva doprava. Když výsledek dělení nebylo celé číslo, tak necelou část výsledku nebrala v úvahu. Na jaké číslo myslela Katka, pokud na papíře byla nakreslená následující postupnost znaků?

2. Z pytle s 6 páry bot vytáhnu 5 bot. Kolik možností mám, že mezi těmito 5 botami bude pár?

3. Najděte všechny dvojice dvojciferných čísel, které mají obě tyto vlastnosti: Jejich součet je dělitelný číslem 23. Jejich rozdíl je dělitelný 29.

4. Najděte tři přirozená čísla, jejichž součin je 1988 a jejich součet je prvočíslo, i když se čte odzadu nebo odpředu.

5. Sestrojte trojúhelník ABC pokud je dána výška na a, těžnice na a a zároveň víme, že a = 2b.

DEN BONUS

1. Pomocí všech číslic od 0 do 9 napište 5 různých přirozených čísel tak, aby jedno bylo dvakrát, jedno třikrát, jedno čtyřikrát a jedno pětkrát větší než nejmenší.

2. Kolik by mohlo existovat různých čísel na kalkulačce, hodinkách apod. (digitálních čísel)?

3. Věžní hodiny odbíjejí každou čtvrt hodinu: první čtvrt jeden úder, druhá dva, třetí tři, čtvrtá čtyři. Dále velkým zvonem odbíjejí vždy na konci hodiny příslušným počtem úderů. Za jakou nejkratší dobu odbijí hodiny 1000 úderů? Čas mezi údery téže čtvrt hodiny zanedbejme.

4. Součin 2 dvouciferných čísel se zaměněním pořadí číslic u obou čísel nezmění. Může být součin 4 cifer obsažených v těchto dvou číslech 48?

5. Sestrojte kosodélník ABCD, pokud víme úhel úhlopříček a délky stran.

Pořadí nejlepších řešitelů