Matboj

* V obdélníku ABCD o stranách délek 60 cm a 40 cm označme patu kolmice vedené z bodu D na úhlopříčku AC písmenem E. Určete obsah trojúhelníku CDE.

• Kolmý jehlan má podstavu o tvaru obdélníku o stranách 20 cm a 15 cm a výšku 18 cm. V jaké výšce se nachází střed koule jemu opsané?

• Kuličkové počitadlo má buď pět nebo šest úrovní. V každé z nich pak jsou tři, čtyři nebo pět kuliček. Kolik celkem takových různých počitadel existuje? Počitadla jsou různá, pokud mají různý počet úrovní nebo aspoň v jedné úrovni mají různý počet kuliček.

• V rovině zakreslete množinu ''R''=''S''\cup_T() :

• Před hodinou a třiceti minutami bylo dvakrát tak dlouho po poledni, jako je teď do půlnoci. Kolik je hodin?

• Kvádr má hrany délek 30 cm, 40 cm a 50 cm. Je složen z krychlí o hraně 10 cm. Kolik krychlí protne tělesová úhlopříčka kvádru?

• Sestrojte trojúhelník ABC, znáte-li \alpha=30\deg, \beta=40\deg, a-b=5 cm.

• Rozhodněte, zda lze očíslovat vrcholy krychle tak, že součet vrcholů libovolné stěny je vždy stejný. K očíslování je třeba použít různá celá čísla.

• Je dána krychle ABCDEFGH. Bod M je střed CG a body K, L leží postupně na hranách AB, BC, přičemž |AK|= 3\cdot|KB|, |LC|=3\cdot|BL|. Narýsujte řez krychle rovinou KML a vypočtěte jeho obsah. Hrana krychle má délku 4 cm.

• Sestrojte kosodélník ABCD, pokud úhel sevřený jeho úhlopříčkami je 30\deg a délky jeho stran jsou 3 cm a 5 cm.

• V pytli je šest párů bot. Kolika způsoby z něj lze vytáhnout pět bot tak, aby mezi nimi byl alespoň jeden pár?

• Máme tři hromádky po 15 zápalkách. Eva s Gimlim hrají následující hru: Ten, kdo je na řadě, si vybere libovolnou hromádku a sebere z ní 1, 2, nebo 3 zápalky. Vyhraje ten, který vezme poslední zápalku. Gimli začíná. Vymyslete vyhrávající strategii pro Gimliho nebo Evu.

• Najděte všechny dvojice dvojciferných čísel, které mají obě tyto vlastnosti: Jejich součet je dělitelný číslem 23; jejich rozdíl je dělitelný 29.

• Sestrojte trojúhelník ABC, pokud je dána výška v_{a} = 4 cm, těžnice t_{a} = 6 cm a zároveň platí, že a = 2\cdot{b}.

• Vilém šel na výlet; vyrazil po obědě v jednu hodinu a na kopec dorazil v devět večer. Tam přespal a ráno vyrazil v devět hodin stejnou cestou k domovu. Domů dorazil ve tři hodiny odpoledne. Dokažte, že na nějakém místě cesty byl ve stejný čas jako první den.

• Nechť je dáno trojmístné číslo zapsané v číselné soustavě o základu n. Přitom druhá cifra je trojnásobkem první cifry. Jestliže prohodíme druhou a třetí cifru, dostaneme stejné číslo zapsané v číslené soustavě o základu n+1. Najděte všechna řešení, jestliže víte, že n je prvočíslo.

• Rozdělte kruh na 17 shodných dílů.

• Z číslic 1 až 9 pomocí vkládání matematických operátorů +, -, \cdot, : a závorek vytvořte číslo 1000.

• Je lepší koupit si pizzu o průměru 30 cm za 12 Kč nebo za 6 Kč pizzu o průměru 20 cm, z níž schází výseč se středovým úhlem 11\deg?

• Jaký maximální obsah může mít šest shodných nepřekrývajících se kruhů uvnitř kruhu o poloměru 10 cm?

• Těleso, které projde třemi otvory na obr. 1, je na obr. 2. Těleso je vyřezáno tak, že každý kolmý řez na horní hranu má tvar trojúhelníku. Vypočtěte objem tohoto tělesa, víte-li, že průměr kruhu, strana čtverce i výška rovnoramenného trojúhelníku měří 2 cm.

Obr. 1 Obr. 2

• Rozhodněte, zda lze šachovnici 3 \times 7 celou pokrýt útvary tvaru písmene L složenými ze tří čtverečků.

• Gimli má opravdu mocný dech. Když nafukuje balonek, přifoukne každým dechem stejný objem vzduchu (objem balonku se o tento objem zvětší). Povrch balonku je po šestnáctém vdechnutí o 150 cm^{2} větší, než po druhém vdechnutí. Jaký je objem vzduchu, který Gimli přifoukne při každém vdechnutí? Balonek má tvar koule a na začátku je prázdný.

Výsledky