Matboj
Matboj
1. Na stole jsou rozmístěny peníze --- kulaté mince (v hodnotách 1, 5, 10 nebo 50 korun), hranaté mince (2 nebo 20 korun) a bankovky (20, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000 a 5000 korun). Čísla na okrajích udávají součty hodnot platidel v příslušných řádcích a sloupcích. Pokud v řádku nebo sloupci leží jenom polovina bankovky, započítává se celá její hodnota (bankovka je označena prázdným obdélníkem). Určete hodnoty nakreslených platidel a dopočtěte chybějící hodnoty A, B, C a D.
2. Do šachovnice 4 \times 4 rozmístěte 7 hvězdiček (do každého čtverce maximálně jednu) tak, aby po škrtnutí libovolných dvou řádků a libovolných dvou sloupců byla ve zbylých 4 čtvercích aspoň jedna hvězdička.
Vysvětlete, proč 6 hvězdiček nestačí neboli proč při jakémkoli rozmístění 6 hvězdiček vždy existují 2 řádky a 2 sloupce, po jejichž vyškrnutí nezůstane žádný čtverec obsahující hvězdičku.
3. V hokejovém mezinárodním turnaji hrálo 8 týmů systémem každý s každým. Turnaj vyhrála Česká republika před Švédskem, které získalo stejně bodů jako mužstva na posledních čtyřech místech dohromady. Jak skončil zápas české reprezentace se Slovenskem, které skončilo na pátém místě? Nezapomeňte vysvětlit proč.
{Poznámka: } Za vítězství se udělují dva body, za remízu jeden bod a za prohru není žádný bod. V případě rovnosti bodů rozhoduje o pořadí skóre.
4. Najděte co nejvíce různých způsobů, jak lze ze tří nepřekrývajících se rovnoramenných trojúhelníků, z nichž žádné dva nejsou shodné, složit rovnoběžník. U každého způsobů vyznačte velikosti vnitřních úhlů jednotlivých trojúhelníků. Dva způsoby složení jsou různé, pokud nelze z jednoho přejít zvětšováním, zmenšováním, otáčením, překlápěním a přeskládáním trojúhelníků.
5. Najděte největší přirozené číslo, které nelze získat jako součet libovolného počtu čísel 7 a libovolného počtu čísel 17.
6. Určete všechna šesticiferná čísla, která po vynásobení čtyřmi dají číslo s opačným pořadím číslic (neboli šesticiferné číslo se stejnými číslicemi jako původní, ale zapsanými odzadu).
7. Je dán rovnoramenný lichoběžník ABCD se základnami |AB|=10 cm a |CD|=4 cm a rameny |AD|=|BC|=5 cm. Na polopřímce AB sestrojíme bod A' tak, že |A'B|=2|AB|, na polopřímce BC sestrojíme bod B' tak, že |B'C|=2|BC|, na polopřímce CD sestrojíme bod C' tak, že |C'D|=2|CD| a na polopřímce DA sestrojíme bod D' tak, že $|D'A|
2|DA|. Spočítejte obsah čtyřúhelníku A'B'C'D'$.
8. V trojúhelníku jsou dvě výšky na strany aspoň tak dlouhé jako jim příslušné strany. O jaký trojúhelník se jedná? Existuje trojúhelník, jehož všechny výšky jsou aspoň tak dlouhé jako jim příslušné strany?
9. Rozhodněte, jestli můžeme číslo 22 222 napsat jako rozdíl dvou druhých mocnin celých čísel. Pokud ano, jak? Pokud ne, proč?
10. Na přímce p jsou dány postupně body A, B, C, D, tak že C je střed úsečky BD. Bodem B vedeme kolmici b na přímku p a bodem D vedeme kolmici d. Sestrojte přímku a procházející bodem A, která protne přímky b a d v bodech K a L tak, že úhel KCL je pravý.
