Příklady na noc a den -- pátek 9. 8. 2002

1. Na třech skříňkách jsou umístěny následující nápisy:

Zlatá: Podobizna není ve stříbrné skříňce.

Stříbrná: Podobizna není v této skříňce.

Olověná: Podobizna je v této skříňce.

Navíc aspoň jeden z nápisů je pravdivý a aspoň jeden je nepravdivý. Ve které skříňce je podobizna?

2. Řešte soustavu rovnic:

\eqalign{ x+y &= 18 \cr x^{2} - y^{2} &= 144.\cr}

3. Dokažte, že mezi 5 různými libovolně zvolenými přirozenými čísly jsou vždy dvě taková, že jejich rozdíl je dělitelný čtyřmi.

4A. Zformulujte Lagrangeův interpolační polynom pro funkci f(x), která v bodech {-1;0;1;3} nabývá hodnot {-5;2;1;-2}.

5A. Řešte graficky soustavu rovnic:

\eqalign{ y &) x^{2}\cr y &\leq 3\cr y &) x+1.\cr}

5B. Najděte první průmět přímky a, která leží v rovině \rho, a určete skutečnou velikost úsečky P^{a}N^{a}.

Úlohy se odevzdávají do nástupu. Maximální počet bodů za úlohu je 5, započítávají se nejlepší tři úlohy.