Příklady na noc a den -- čtvrtek 8. 8. 2002

1. Nechť P a Q jsou protější vrcholy pravidelného dvacetiúhelníku. Určete počet jeho úhlopříček, které mají s úhlopříčkou PQ společný právě jeden bod.

2. Dokažte, že rozdíl každého přirozeného čísla a jeho ciferného součtu je dělitelný devíti.

3. Je dána kružnice k se středem S a poloměrem r, vně kružnice k je dán bod M. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky, pro něž je kružnice k vepsaná a bod M leží na přímce obsahující jednu stranu trojúhelníku.

4A. Řešte v oboru reálných čísel rovnici:

4B. Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže je dáno: b=|AC|=5cm, c=|AB|=8cm a 3t_{c} = 4a, kde t_{c} je délka těžnice na stranu c a a=|BC|.

5A. Náklaďák o délce 20 metrů chcete nacpat do garáže o délce 2 metry pomocí relativistických efektů (tj. že náklaďák je celý v garáži se musí jevit pozorovateli sedícímu na střeše garáře). Jakou rychlostí musí náklaďák jet minimálně?

5B. Je to střecha a na každé straně je okap. Navrhněte architektonický model této střechy, aby voda stékala do každého okapu.

Úlohy se odevzdávají do nástupu. Maximální počet bodů za úlohu je 5, započítávají se nejlepší tři úlohy.