Příklady na noc a den -- čtvrtek 15. 8. 2002

1. Sedm houbařů nasbíralo dohromady 100 hub, přitom každý nasbíral jiný počet. Dokažte, že jsou mezi nimi tři, kteří dohromady nasbírali aspoň 50 hub.

2. Je dána kružnice k a uvnitř ní body P a Q. Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC tak, aby kružnice k mu byla opsána a bod P ležel na jedné a bod Q ležel na druhé odvěsně.

3. Nechť ABCD je obecný čtyřúhelník a nechť X, Y, Z a U jsou po řadě středy stran AB, BC, CD a DA. Nechť R je průsečík přímek AZ a UC. Nechť T je průsečík přímek AY a XC. Vypočtěte poměr obsahů čtyřúhelníků ABCD a ATCR.

Úlohy se odevzdávají do pátečního nástupu. Maximální počet bodů za úlohu je 5, započítávají se nejlepší tři úlohy.