Příklady na noc a den -- středa 14. 8. 2002

1. Do sestupné řady číslic 9, 8, 7, ..., 2, 1 vložte znaménka plus tak, aby součet vzniklých čísel byl 99. Uveďte všechny možnosti.

2. Určete poslední cifru čísla 1^{2002} + 4^{2002} + 8^{2002}.

3. Je dán čtverec ABCD o straně a=10cm, na úhlopříčce AC bod E tak, že |AE|=|AB|, bod F je souměrně sdružený s bodem E podle bodu A. Dokažte, že trojúhelník EFB je pravoúhlý a vypočtěte jeho obsah.

4A. Zjistěte analyticky průsečík kružnice (x+1)^{2} + (y-2)^{2} = 16 a přímky 2x+3y-2=0.

4B. Dokažte, že 133 dělí číslo 11^{n+2} + 12^{2n+1} pro libovolné přirozené číslo n.

5A. Najděte všechny kořeny polynomu x^{4}-4x^{3}-25x^{2}+40x+60.

5B. Nakreslete graf funkce (-2)\cdot(x+1)^{2}+2.

Úlohy se odevzdávají do pátečního nástupu. Maximální počet bodů za úlohu je 5, započítávají se nejlepší tři úlohy.