Matboj
1. Součin daného čísla a jeho ciferného součtu je 19240. Určete dané číslo.
2. Nejmenší společný násobek dvou čísel je o 10 větší než jejich největší společný dělitel. Které dvojice čísel splňují tuto vlastnost?
3. V rovině je dáno 6 bodů, z nichž některé jsou spojené úsečkou a žádné 3 body neleží na přímce. Žádná trojice úseček netvoří trojúhelník. Jaký je největší možný počet úseček v takovémto útvaru?
4. Je dán obdélník ABCD se stranami |AB|=8cm a |BC|=5cm. Body E a F jsou středy úseček AB a BC. Nad průměry DE a EF sestrojíme kružnice, které se kromě bodu E protínají i v bodě X. Ukažte bez rýsování, že body D, F a X leží v jedné přímce a spočtěte délku úsečky EX.
5. Určete všechny dvojice přirozených čísel x a y takových, že $8x{3} - y{3} = 387$.
6. Najděte nejmenší kladné celé číslo k, pro které mají součiny 576k a 729k stejný počet dělitelů.
7. Do čtyřúhelníku ABCD o stranách |AB|=7cm a |CD|=5cm je vepsaná kružnice. Určete jeho obvod.
8. V rovině je dána úsečka AM. Popište útvar, který vytvoří středy ramen AC všech rovnoramenných trojúhelníků ABC se základnou AB, v nichž je úsečka AM těžnicí.
9. Najděte všechna prvočísla p, pro která platí, že čísla 2p+1 a 4p+1 jsou také prvočísla.
10. Sestrojte kosočtverec ABCD, je-li dána velikost jeho výšky v=3cm a délka úhlopříčky |AC|=6cm.
