Matboj

Úloha č. 1

Určete poslední nenulovou číslici čísla 222! (222! = 222 \cdot 221 \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1).

Úloha č. 2

Stojíte před schodištěm s 20 schody. Při každém kroku můžete vyjít buď o jeden schod nebo o dva schody. Kolika různými způsoby můžete vyjít schodiště?

Úloha č. 3

Dokažte, že pro každé přirozené číslo n platí 4 \mid 3^{2n-1} + 1.

Úloha č. 4

Dokažte, že pro každé přirozené n existuje n-ciferné číslo obsahující pouze liché číslice, které je dělitelné 5^{n}.

Úloha č. 5

Sestrojte trojúhelník ABC, znáte-li poloměr kružnice opsané, úhel \alpha a délku těžnice na stranu a.

Úloha č. 6

Mějme šachovnici 7777 \times 7777, na jejímž prostředním políčku je napsaná jednička a na všech ostatních jsou nuly. V každé vteřině nahradíme každé číslo součtem čísel na čtyřech sousedních políčkách. Jaký bude součet čísel na všech políčkách šachovnice po 2011 vteřinách?

Úloha č. 7

Kvadratická rovnice x^{2} + px + q = 0 má řešení p,q. Najděte všechny takové dvojice p,q.

Úloha č. 8

Určete počet všech trojciferných čísel, která jsou devatenáctkrát větší, než jejich ciferný součet.

Úloha č. 9

Najděte přirozené číslo n takové, že n \over 2 je druhá mocnina, n \over 3 je třetí mocnina a n \over 5 je pátá mocnina.

Úloha č. 10

Vypočtěte obsah vybarvené části, víte-li, že poloměr velké kružnice je 2 cm a poloměry všech menších jsou 1 cm.

Úloha č. 11

Hrajete hru se dvěma šestistěnnými hracími kostkami. Na začátku si zvolíte číslo k a vyhráváte, pokud je rozdíl na dvou kostkách roven k. Jaké k se vyplatí zvolit a jaká je pravděpodobnost výhry?

Úloha č. 12

U cesty stojí dva sloupy o výškách 4 m a 6 m. Z vrcholu každého z nich vede lano do paty druhého. V jaké výšce se lana protnou?

Úloha č. 13

Rozdělte rovnostranný trojúhelník na 6 rovnostranných trojúhelníků (ne nutně stejně velkých).

Úloha č. 14

Sestrojte trojúhelník ABC, znáte-li úhel \alpha, poloměr kružnice vepsané a délku výšky na stranu b.

Úloha č. 15

Určete poloměr vyznačených kružnic, víte-li, že poloměr tří dotýkajících se kružnic je 1 cm.

Úloha č. 16

Vašim cílem je pospojovat některé tečky vodorovnými a svislými úsečkami tak, aby vznikla jedna uzavřená cesta. Navíc kolem políček s čísly tato cesta musí procházet přesně tolikrát, kolik je dané číslo.