(Řešení)

Úloha č. 1

Rozdělte obdélník 2 cm \times 3 cm na nejvýše pět částí a sestavte z nich čtverec stejného obsahu.

Úloha č. 2

Dokažte, že pro každé přirozené číslo n platí

Úloha č. 3

Máme dáno šest barev. Každou stěnu krychle obarvíme jinou z těchto šesti barev. Kolik různých navzájem nerozlišitelných obarvení krychle existuje?

Úloha č. 4

Dokažte, že libovolný trojúhelník je svými těžnicemi dělen na šest částí se stejným obsahem.

Úloha č. 5

Kolik přirozených čísel od 1 do 10000 není dělitelných pětkou, sedmičkou ani jedenáctkou?

Úloha č. 6

Sestrojte trojúhelník ABC, je-li |\angle ACB|=75^{\circ}, výška na stranu BC je dlouhá 3,5 cm a poloměr kružnice opsané je 2,5 cm.

Úloha č. 7

Nechť je dána krychle ABCDEFGH s hranou délky 10 cm. Vypočítejte objem jehlanu ACFH.

Úloha č. 8

Mějme diferenciální formu \psi a bod x z jejího definičního oboru, dále přirozené číslo k a strukturu ''S''. Předpokládejme, že platí následující dvě tvrzení:

• \psi je v bodě x spojitá nebo existuje k-regulární graf s poloměrem 5,
• \psi není v bodě x spojitá nebo ''S'' se dá rozšířit na heytingovskou strukturu nejvýše jedním způsobem,

Dokažte, že pak existuje k-regulární graf s poloměrem 5, nebo se ''S'' dá rozšířit na heytingovskou strukturu nejvýše jedním způsobem.

Úloha č. 9

Existuje trojúhelník, jehož dvě výšky jsou delší než 1 m a jehož obsah je menší než 1 cm^{2}?

Úloha č. 10

Mřížový bod je takový, jehož souřadnice jsou celá čísla. V rovině je dáno 5 různých mřížových bodů. Ukažte, že vždy existuje úsečka s krajními body v těchto bodech taková, že obsahuje další mřížový bod.

Úloha č. 11

Zvětšením strany čtverce o 1 cm dostaneme větší čtverec, jehož plocha je o 111 cm^{2} větší. Jak velká je strana původního čtverce?

Úloha č. 12

Máme 100 shodných krychlí o hraně 1 cm. Kolik různých kvádrů z nich můžeme sestavit, jestliže chceme vždy použít všechny krychle?

Úloha č. 13

Určete největší a nejmenší šesticiferné číslo dělitelné osmnácti doplněním chybějících cifer místo hvězdiček.

Úloha č. 14

Najděte všechna prvočísla p, pro která platí, že čísla 2p+1 a 4p+1 jsou také prvočísla.

Úloha č. 15

Sestrojte kosočtverec ABCD, je-li dána velikost jeho výšky v=3 cm a délka úhlopříčky |AC|=6 cm.