Úlohy označené symbolem \spadesuit byly určené pouze pro žáky

  1. a 7. ročníků.

Úloha č. 0

Matboj má 21 úloh. Myšlenka potřebuje na řešení jedné úlohy v průměru půl hodiny, Gimli vyřeší dvě úlohy za 40 minut, Kachna vyřeší maximálně šest úloh, Olda vaří kávu. Karel vyřeší první úlohu za 20 minut a každou další za dvojnásobek času, který řešil úlohu předchozí. Stihnou vyřešit celý Matboj v předepsaném čase, když si každý z nich po vyřešení úlohy dává pětiminutovou přestávku na kávu?

Úloha č. 1

\spadesuit Který z násobků jedenácti takový, že má všechny číslice různé, je nejmenší? Nulu neberem.

Úloha č. 2

\spadesuit Poskládejte daná tělesa tak, aby vytvořila kvádr bez děr uvnitř. (Na obrázku jsou vidět alespoň částečně všechny kostičky.)

Úloha č. 3

\spadesuit Spočítejte hodnotu výrazu

x = ((2z+y)^{3} - y/z)/(z\cdoty-((2z+y)^{3}-y/z)/(z\cdoty)).

Víte, že

y=(z+2)\over(3z-(z+2)\over(3z-(z+2)\over(3z)))

a z+2 je celé číslo dělitelné 3 a z.

Úloha č. 4

\spadesuit Narýsujte pětiúhelník KABELKA, která je vepsaná do kružnice o poloměru 8 km. Dále platí: |KL|=10 km, |LE|=6 km, bod B je souměrný s bodem K podle osy strany LE a přímka AB je kolmá na LB.

Úloha č. 5

\spadesuit Ze slova KOST vytvořte SMRT , smíte vždy změnit jedno písmenko na jiné, každé takto vzniklé slovo musí dávat v českém jazyce smysl.

Úloha č. 6

Michalovo telefonní číslo má devět číslic: právě tři sudé, právě tři liché, právě tři číslice se v tomto čísle vyskytují právě jednou, tři právě dvakrát. Pokud se budeme bavit tím, že sečteme vždy dvě číslice, co jsou vedle sebe, bude součet až na jeden případ větší než 4 a určitě nikdy nepřesáhne 10. Součiny dvou po sobě jdoucích číslic jsou po řadě 0, 0, 0, 0, 25, 5, 3, 9. Jaké má Michal číslo, pokud víte, že nezačíná osmičkou?

Úloha č. 7

Cesta měří 100 km. Jede po ní cyklista Zbyněk. V každé třetině kilometru ho čeká hrbol. Hrboly jsou dvojího tvaru, buďto jsou půlkruhové, anebo mají tvar rovnostranného trojúhelníku. První hrbol je trojúhelníkový, druhý půlkruhový a dál už se jen pravidelně střídají skupiny hrbolů stejných tvarů (viz obrázek). Počet hrbolů dané skupiny je stejný jako celkový počet hrbolů, které už jí předcházejí. Výška všech hrbolů je 5 cm. Spočítejte délku Zbyňkovy trajektorie.

Úloha č. 8

Rozhodněte, které z čísel

987654321023456798 \over 123456789029876543, 987654321023456789 \over 123456789029876534

je větší.

Úloha č. 9

V zahradě Honzlových, tvaru rovnostranného trojúhelníku o straně 16 m, řádí krtci. Bojí se však zahradních trpaslíků. Velký trpaslík, který stojí 300 Kč, ochrání před krtky kus zahrady tvaru rovnostranného trojúhelníku o straně 6 m. Malý trpaslík ochrání sice jen kus zahrady tvaru rovnostranného trojúhelníku o straně 4 m, zato stojí jen 200 Kč. Kolik Honzlovi musí nejméně zaplatit za trpaslíky, aby ochránili celou zahradu?

Úloha č. 10

Narýsujte čtyřúhelník OLDA, jestliže je tečnový (tj. lze mu vepsat kružnici). Poloměr jemu vepsané kružnice je 4 cm. Strana OL je dlouhá 6 cm a velikost úhlu OLD je 120^{\circ}. Vrchol A leží na ose úhlu OLD.

Úloha č. 11

Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV s hranou podstavy dlouhou 32 cm a boční hranou dlouhou 20 cm. Určete obvod řezu rovinou KLM, jestliže K je střed AV, L je střed BV a M\in CV, |CM| = 1\over3 |MV|.

Úloha č. 12

Od rybníka Česna k rozhledně Výrovce vede cesta. Po ní od rybníka vyjel cyklista Karel. Ve stejnou chvíli vyšel od Výrovky Honzík, ten šel ke studánce, co leží při této cestě. Karel a Honzík se potkali ve chvíli, kdy Honzík měl za sebou polovinu své cesty a Karel 17\over20 své cesty. Přitom když Honzík dorazil ke studánce, minula ho Myška na koloběžce, která chtěla dohnat Karla. Protože Myška je zdatná koloběžkařka a jela rychlostí 10 km/h, dorazila na Výrovku o 70 minut později než Karel. Jak dlouhá je cesta od Česna na Výrovku, jestliže Karel jel rychlostí 30 km/h? (Počítejte, že se všichni pohybují stálou rychlostí.)

Úloha č. 13

Určete, kolik dvojic (x, y) celých čísel splňuje následující soustavu:

\eqalign{ y&\leq -4\over3 x + 1,\cr y&) 1\over2 x + 1,\cr y&\leq 9\over5 x + 9.\cr}

Úloha č. 14

Michal má přirozené číslo. Když od jeho druhé mocniny odečte číslo, které je o jedna menší než jeho číslo, dostane zase druhou mocninu přirozeného čísla. Jaké je Michalovo číslo? Najděte všechny možnosti.

Úloha č. 15

Je dán rovnoramenný trojúhelník MYŠ se základnou , která je dlouhá 60 cm a úhel MŠY měří $67{\circ} 30'. Spočítejte obsah čtyřúhelníku MSŇŠ$, kde bod Ň je osově souměrný s bodem M podle přímky ŠY a bod S je osově souměrný s bodem Š podle přímky MY.

Úloha č. 16

Nahraďte stejná písmena ve výpočtech stejnými číslicemi tak, aby početní výkony byly správně:

S L O V O
O L O V O

P R A H A

S L O V O
- O L O V O

H R R R R

O S A
\cdot P

O L E J

V O R : OJ = OS,A
O V R
E R
E

Úloha č. 17

Které pravidelné mnohoúhelníky je možné načrtnout i se všemi jejich úhlopříčkami jedním tahem?

Úloha č. 18

Kolika způsoby lze posadit Kachnu, Gimliho, Káju, Myš, Michala a Oldu do kupé pro 8 lidí, pokud: Gimli chce mít natažené nohy a opěrku ucha po levé straně, Kachna chce sedět ve směru jízdy, Myšlenka chce být u okénka, Karel chce sedět na druhé straně než Gimli, Olda chce mít vedle sebe volné místo a Michal chce sedět vedle Kachny. Okno je vpravo ve směru jízdy. Vlak zastavuje a přistupuje Zbyněk, kam si má sednout, aby naštval co nejméně lidí?

Úloha č. 19

Jaká je pravděpodobnost, že vyřešíte správně úlohu č. 19? Vysvětlete Gimlimu.

Úloha č. 20

Kolikrát se v úlohách Matboje objevují jména vedoucích (tohoto soustředění)? Napište jejich počty.

Výsledky