Úloha č. 1
Kolik je uspořádaných dvojic přirozených čísel [x;y], 1\leq_gr(x)\leq_gr(1418), 1\leq_gr(y)\leq_gr(1418), jejichž nejmenší společný násobek je 1418?
Úloha č. 2
Máme dán trojúhelník ABC s těžištěm T. Označme střed strany AB jako C', střed strany BC jako A' a střed strany CA jako B'. Dokažte, že trojúhelníky AC'T, BC'T, BA'T, CA'T, CB'T a AB'T mají všechny stejný obsah.
Úloha č. 3
V rovině jsou dány body A, C a kružnice k(T;r). Sestrojte rovnoběžník ABCD, aby body B a D ležely na kružnici k. Proveďte diskusi počtu řešení.
Úloha č. 4
Máme n cestujících a dva autobusy, z nichž každý pobere maximálně n cestujících. Někteří lidé si vyberou jeden z autobusů a nastoupí do něj (tj. nastoupí alespoň jeden člověk). Spočítejte, kolik je různých způsobů nastoupení. Autobusy jsou si (na rozdíl od cestujících) k nerozeznání podobné.
Úloha č. 5
Vrcholy pravidelného šestiúhelníku jsou rozděleny do tří dvojic, vrcholy v každé dvojici spojíme úsečkou. Dokažte, že takto dostaneme vždy dvě úsečky stejné délky.
Úloha č. 6
Mějme 100 kuliček, z nichž každá je očíslována jedním z čísel 1 až 100. Na kolik minimálně skupin je musíme rozdělit, aby se v žádné skupině nestalo, že jedna kulička bude mít stejné číslo jako je dvojnásobek čísla jiné kuličky ze stejné skupiny?
Úloha č. 7
Pět studentů A, B, C, D, E se zúčastnilo soutěže. První předpověď výsledků byla, že studenti skončí v pořadí ABCDE. Ale tato předpověď nebyla moc spolehlivá, žádný soutěžící neskončil na určené pozici (např. A nebyl první) a žádní dva soutěžící, u nichž se předpokládalo, že skončí hned za sebou, tak neskončili (např. B neskončil hned za A). Druhá předpověď tvrdila, že soutěžící skončí v pořadí DAECB. Tato byla lepší, právě dva soutěžící skončili na předpovězeném místě a právě dva disjunktní páry studentů, o kterých se předpokládalo, že skončí hned za sebou, předpověď splnili. Určete konečné pořadí soutěžících.
Úloha č. 8
V matematické soutěži byly zadány tři úlohy A, B, C. Víme, že 25 soutěžících řešilo alespoň jednu úlohu. Z těch, kteří neřešili úlohu A, řešil úlohu B dvojnásobný počet soutěžících než úlohu C. Počet soutěžících, kteří řešili pouze úlohu A byl o jeden větší než těch, kteří řešili A a ještě alespoň jednu další úlohu. Počet řešících právě úlohu A byl roven součtu těch, co řešili právě úlohu B, a těch, co řešili právě úlohu C. Kolik soutěžících řešilo pouze úlohu B?
Úloha č. 9
Doplňte čísla do prázdných čtverečků na obrázku tak, aby v každém vnitřním čtverečku byl součet jeho čtyř sousedů.
