- Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže znáte délku jeho strany (|BC|=10cm), velikost vnitřního úhlu (|\angle ABC|=20\deg) a poloměr kružnice trojúhelníku opsané (r=6cm).
- V rovině je daná množina M devadesáti bodů, ze kterých žádné tři neleží na jedné přímce. Každý bod je spojen úsečkou právě s deseti dalšími body. Dokažte, že pro libovolný bod A \in M je možné vybrat tři body P,Q,R \in M tak, že ve čtveřici A, P, Q, R je každý bod spojen úsečkou aspoň se dvěma dalšími body čtveřice.
- Může přirozeněčíselná mocnina dvojky (tj. číslo 2^{k} pro k přirozené) mít ve svém dekadickém zápisu (tj. zápisu v desítkové soustavě) stejný počet jedniček, dvojek, trojek, ..., devítek?
- Dokažte, že kdykoli n je přirozené číslo, platí
1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+(2n-1)^{3}=n^{2}(2n^{2}-1).
- V oboru celých čísel řešte rovnici x^{2}+y^{2}=xy+2x.
- Máme dáno šest barev. Každou stěnu krychle obarvíme jinou z těchto šesti barev. Kolik různých navzájem nerozlišitelných obarvení krychle existuje?
- Dokažte, že libovolný trojúhelník je svými těžnicemi dělen na šest částí se stejným obsahem.
- Určete součet druhých mocnin vzdáleností vrcholů jednotkového čtverce od libovolné přímky procházející jeho středem.
- Obdélník o rozměrech 1cm a 5cm rozdělte na devět dílů tak, aby se z nich dal sestavit čtverec.
10. Kolik nejvíc přirozených čísel menších než 170 můžeme vzít, aby jejich součin nebyl dělitelný 72?
