Zadání 2. série 42. ročníku
Termín odeslání: 30. listopadu 2026
Pravidla pro odevzdávání řešení najdete zde. O tom, jak řešení sepisovat, si můžete přečíst zde nebo se podívat na video.
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Toto je zadání druhé série 42. ročníku Pikomatu. Číslo 42 je z dobře známého důvodu velmi významné nejen pro Galaxii a její stopaře, ale i pro život, vesmír a vůbec. Celý tento ročník je proto poctou jednomu mimořádně významnému stopaři po Galaxii, Douglasu Adamsovi.
Jak jsme si již řekli, Stopařův průvodce po Galaxii je úžasná kniha a k jejím největším přednostem patří, že na obalu má napsáno „NEPROPADEJTE PANICE“. K dalším přednostem patří, že obsahuje spoustu užitečných informací pro cestovatele po Galaxii.
Stopařův průvodce po Galaxii například uvádí, jak je důležité mít ručník. A dále uvádí 57+1 triků a návodů, jak ručník kreativně použít v různých stopařských situacích, kdy se ručník může hodit a kdy ti dokonce může zachránit život. Můžeš se do něj i utřít, pokud ti po tom všem přijde dost čistý. A proto dobrý stopař musí vědět, kde má ručník. Jeden takový ručník si chtěl za mlada Ford koupit na planetě Trilopulos.
Úloha č. 1
Tradiční trilopuloské ručníky byly trojúhelníky s úhly 30^\circ, 70^\circ a 80^\circ. Ručníky byly různých velikostí, ale díky těm úhlům si byly všechny ty ručníky geometricky podobné.^* Ford si vyhlédl zelený a modrý, ale byly moc velké. Prodavač bez váhání každý trojúhelník jedním prudkým přímým sekem svého klepeta rozklovl, každý na dva menší trojúhelníky (které už nemusely mít tradiční úhly). Ford si však všiml, že z těchto menších trojúhelníků si byly jeden zelený a jeden modrý podobné.
Musí si již nutně být podobná i zbylá dvojice trojúhelníků? Pokud tvrdíš, že ano, své tvrzení dokaž. V opačném případě najdi konkrétní protipříklad. Situace je ilustrována na obrázku 1.
^* Dva trojúhelníky jsou podobné, pokud mají stejné úhly, nebo (jiná definice) jejich odpovídající strany jsou ve stejném poměru.
To bylo ale hodně dávno a teď měl Ford Prefect zcela jiné problémy. Právě o chlup unikl před zničením Země vogonskou demoliční flotilou, a to i se svým kamarádem Arthurem Dentem, v současnosti posledním přeživším pozemšťanem. Podařilo se jim to tak, že stopli jednu menší zásobovací loď té demoliční flotily. Arthur zareagoval na stopařský skok tím, že zpanikařil a usnul. Usnul hluboce a opět se mu zdál sen o Dentaurově.
Úloha č. 2
Ve městě Dentaurov, které bylo určeno ke zbourání, stojí ve velkém kruhu 2026 domů. V každém domě bydlí právě jeden obyvatel a mezi každými dvěma domy (včetně nesousedních) je natažena jedna přátelská pentle, která vede od dveří jednoho domu přímo ke dveřím druhého domu. Přitom pentle mohou být buď žluté, nebo modré. Den před zbouráním Dentaurova byla velká rozlučková párty a veselí obyvatelé se rozlosovali a šli spát do náhodně vylosovaného domečku (tedy pravděpodobně ne do toho svého), a to tak, že opět v každém domečku byl právě jeden obyvatel. Ukaž, že již nutně musí existovat dva obyvatelé, kteří k sobě mohli jít na návštěvu před i po párty po pentli stejné barvy.
Ukázka, jak by mohlo (například) vypadat propojení domů pentlemi pro menší kruh o 8 domech, je na obrázku 2.
Podúloha za 2 body: Spočítej, kolik je celkově pentlí. Může se ti k tomu hodit vzoreček 1+2+3+\cdots+n=n\cdot (n+1)/2, platný pro každé přirozené n. Například pro n=3 si můžeš ověřit, že platí 1+2+3=3\cdot(3+1)/2.
Vyřešení pomocné podúlohy je zcela dobrovolné. Pokud se ti podaří správně vyřešit původní úlohu, máš nárok na 5 bodů bez ohledu na to, jestli jsi vyřešil i podúlohu.
„Arthure, vstávej,“ snažil se Ford Prefect vzbudit Arthura Denta. Nebyl si jistý, jestli to Arthur ocení, protože zjištění, že se nachází ve skladišti vogonské zásobovací kosmické lodi, mu na náladě rozhodně nepřidá.
Stopařův průvodce o Vogonech mluví takto: Vogoni jsou rasa jako stvořená pro to být demoliční četou a zároveň galaktickým úředníkem. Jsou proradní, bezcitní, panovační a rádi řvou. Nehnuli by ani prstem pro svou vlastní babičku, kdyby si žravé blátotlačky z Traalu s její hlavou chtěly zahrát fotbal, pokud by na to neměli písemný příkaz ve dvou originálech a třech kopiích, s ověřenými podpisy, povolený shora a zespodu, politý kafem, podrobený všeobecné debatě a kvalitně archivovaný a trochu kompostovatelný. A třikrát ztracený. Ale Vogona nic nenaštve víc, než když předhodíte jeho babičku žravé blátotlačce z Traalu. V žádném případě si nenechte recitovat vogonskou poezii a nechtějte vidět vogonský fotbal.
Úloha č. 3
Ve vogonském fotbale spolu hrají dva týmy: Vogoni a žravé blátotlačky z Traalu. Každý tým je rozdělen na brankáře a ostatní (říkejme třeba útočníci). Vogonských brankářů však musí být víc než žravých blátotlačkových útočníků. Koho je na hřišti více: brankářů, nebo žravých blátotlaček?
Z reproduktoru rozhlasu se ozvalo: „Ahoj, tady kapitán Jelc, přístroje ukazují, že na lodi jsou dva stopaři. Tak vítejte.“ Arthur se skoro uklidnil. Hlas sice nebyl dvakrát příjemný, ale zněl, jako by se s ním dalo mluvit. „Aby bylo jasno, nejste tedy vítáni, a jestli vás najdu, rozsekám vás na malé nudličky a namelu na prášek a poté vyhodím do volného vesmírného prostoru.“ Arthurovo uklidnění se kupodivu náhle záhadně vytratilo.
Ford řekl: „Neboj, dokud se neotevřou támhle ty dveře, jsme v pohodě. Sem do skladu Vogoni moc nechodí.“ Hned po vyslovení této věty si však uvědomil, že Vogoni měli ve zvyku číslovat věci pro jistotu zdvojeně, protože si mysleli, že když napíšou číslo dvakrát za sebou, bude se lépe pamatovat. Takže místo 13 psali 1313, místo 1978 psali 19781978 a tak dále. Dveře skladu byly vogonsky očíslované šesticiferným číslem (původně trojciferným). Arthur, který vystrašeně hypnotizoval dveře, aby se neotevřely, si okamžitě všiml, že číslo je dělitelné 13. Neuvědomil si však, že to platí pro všechna taková čísla.
Úloha č. 4
O šesticiferném číslu řekneme, že je vogonské, jestliže vzniklo zdvojením trojciferného čísla. Například 123123 je vogonské, 123321 není. Ukaž, že všechna šesticiferná vogonská čísla jsou dělitelná číslem 13, neboli že po dělení 13 dávají zbytek 0.
Zhruba 13 sekund poté, co to Ford dořekl, se ozvalo zaklepání na dveře. Tedy zaklepání by to bylo, kdybys za zaklepání považoval zvuk, který vydá náraz nákladního automobilu plného plechových hrnců do prodejny křišťálových lustrů. Ve skutečnosti to byl vogonský strážný desátník Koblížek, který se snažil otevřít dveře bez použití kliky. Na třetí pokus se mu to povedlo, ale ze dveří zbylo něco, co bylo více podobné rozšlápnutému hrnci posolenému křišťálovým prachem než dveřím do skladu potravin. „Jste zatčeni, veškerý odpor je marný.“
Hierarchie je pro Vogony důležitá. Vědět, že je něco větší než něco jiného, je velmi důležité, vlastně nejdůležitější. Proto Vogoni nemají rádi rovnostranné, ba ani rovnoramenné trojúhelníky. Jsou na ně příliš rovno.
Úloha č. 5
O trojúhelníku se stranami délek a, b, c řekneme, že je vogonský, jestliže a>b>c. Kolika způsoby lze vyplnit doplňovačku
tak, že místo teček dopíšeš a, b, c, v_a, v_b, v_c v nějakém pořadí a řetěz nerovností bude platit pro délky stran a>b>c nějakého vogonského trojúhelníku a jeho výšky v_a, v_b, v_c (v_a je výška ke straně dlouhé a, apod.)? Svou odpověď odůvodni.
Strážný desátník Koblížek vedl Arthura a Forda nekompromisně do kanceláře kapitána Vogona Jelce. Přede dveřmi museli asi 33 minut čekat. Kapitán si totiž skládal hlavolam tritrisu.
Úloha č. 6
Jeden dílek tritrisu je složen ze tří slepených krychliček stěnami k sobě (na rozdíl od tetrisu, kde to jsou kostičky čtyři). Existují vlastně dva druhy dílků tritrisu: dílky typu I, kde jsou tři krychličky v řadě za sebou, a dílky typu L (viz obrázek níže), kde slepené krychličky vytvářejí pravý úhel a všechny tři krychličky mají jednu hranu společnou. Kapitán Jelc měl před sebou 9 L-dílků a snažil se z nich složit krychli 3\times3\times3. Dokázal bys mu poradit, jestli to může zvládnout bez řezání a lámání? Pokud ano, uveď konstrukci, pokud ne, tak dobře zdůvodni proč. 
Kapitánu Jelcovi se složit hlavolam samozřejmě povedlo. Ale bez řezání a lámání to nebylo. Použil také hodně nadávání, řvaní, kousání a některé L-dílky pak vypadaly spíše trochu jako U-dílky, nebo přesněji jako Ű-dílky, ale úplně nejpřesněji by to byl nějaký čínský znak. Způsob složení tritrisu kapitána příjemně rozladil a kapitán dostal chuť někoho seřvat.
Povolal tedy strážného desátníka Koblížka i s jeho zajatci do své kanceláře. Desátník Koblížek dostal seřváno za to, že mu to tak dlouho trvalo, a taky za to, že má příliš vyžehlenou uniformu a ta vypadá velmi pomačkaně, a taky za to, že je tady příliš brzo. Vogoni prostě rádi řvou.
Když se kapitán trochu vyřval, byl téměř spokojený a podíval se na stopaře: „Máte dvě možnosti: buď vás teď bezodkladně vyhodím do volného kosmického prostoru, nebo vám přečtu svoji melancholickou lyrickou undekalitickou báseň a POTOM vás bezodkladně vyhodím do volného kosmického prostoru.“
Arthur bez váhání řekl: „Já mám rád poezii.“ Ford se málem zhroutil. „Arthure, ty nemáš tušení, co je to vogonská poezie! Sám bych raději skočil rovnou do tlamy žravé blátotlačky z Traalu, než abych musel poslouchat vogonskou poezii.“
Vogon Jelc se rozvalil na své kapitánské židli: „Poslouchejte tedy.“
Báseň nebyla tak hrozná, alespoň ne na pozemské poměry. Někdo by si dokonce mohl myslet, že to je známka punku.
Báseň obsahovala rýmy na čísla, která jsou násobky 11. Jako třeba „padesát pět – rozšlápnu květ“, „šedesát šest – poznáš mou pěst“, „tisíc sto jedenáct – seřvu tě snáz“, a podobně. Úplně ultimátním cílem v undekalitické vogonské poezii by byl verš na ostře sestupné číslo dělitelné 11.
Úloha č. 7
Ostře sestupné číslo je takové číslo, jehož každá cifra je ostře menší než cifra před ní. Třeba 754 ostře sestupné je, ale není dělitelné 11. Oproti tomu 6633 je dělitelné 11, ale není ostře sestupné (6 není menší než 6). Vogoni nikdy takové číslo nenašli. Co myslíš ty: existuje ostře sestupné číslo dělitelné 11? Pokud ano, najdi na něj i rým.
Při řešení této úlohy se ti může hodit následující pozorování, jehož důkaz nalezneš níže v tomto letáku: Číslo je dělitelné jedenácti právě tehdy, když od součtu jeho cifer na lichých pozicích můžeme odečíst součet jeho cifer na sudých pozicích a vyjde číslo dělitelné 11 (počítáme se zápornými čísly i nulou).
Kapitán zakončil přednes své básně v dramatické póze s rozpaženýma rukama a otevřenou pusou. Po chvíli dramatického ticha se zeptal: „Co si o tom myslíte?“
Arthur bez rozmyšlení řekl: „No, nebylo to špatné.“ Ford se na něj vyděšeně podíval. Dokázal si představit libovolné hodnocení od vykloubení pravé ruky po vyškubnutí si levého oka, ale tohle ho opravdu nenapadlo. Mezitím Arthur pokračoval: „Myslím, že některé metafyzické metafory jsou skutečně velmi působivé …“
Ani kapitán Jelc s takto pozitivním přijetím nepočítal: „Pokračujte…“
Arthurova inspirace však právě skončila ve slepé uličce. „…Rovněž rytmické prostředky, které jsou kontrapunktem k …,“ přidal se Ford, ale také mu rychle docházela slova. Ale to už se nadechl Arthur: „…kontrapunktem k surrealismu zrcadla projekce úskalí hlubokého lidství.“ „…vogonství, jistě vogonství,“ opravil ho rychle Ford.
Vogon se zamyslel: „Takže vy si myslíte, že píšu poezii jen proto, že přes svůj hnusný zevnějšek toužím být milován?“
Ford s Arthurem se na sebe podívali: „Ano, vlastně …přesně tak.“
Kapitán se uvolnil; předchozí hovor v něm vyvolával pozitivní emoce, tedy něco, na co vůbec nebyl zvyklý, a cítil se tudíž velmi nejistě. Odpověď, kterou právě slyšel, mu umožnila vrátit se do komfortní zóny permanentní naštvanosti: „Tak to jste ale úplně mimo! Strážníku, odveď je do přechodové komory číslo 11.“
„Odpor je marný,“ řekl strážný desátník Koblížek, když hodil oba stopaře do malé místnosti s velkým proskleným průzorem, a než stihli vůbec začít protestovat, zmáčkl vyprazdňovací tlačítko.
Dvě těla, jedna kniha s nápisem „NEPROPADEJTE PANICE“, jeden ručník a asi 5 metrů krychlových vzduchu rychle opustily vogonskou kosmickou loď a počaly se lehce vznášet ve volném kosmickém prostoru …
(pokračování příště)
Povídání o dělitelnosti 11 (dovětek k úloze 7)
Při řešení se může hodit pravidlo dělitelnosti číslem 11, které si můžete (dobrovolně) odvodit v následující doplňovačce:
Celými čísly rozumíme čísla \ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots, přirozenými 1,2,3,\ldots Fakt, že n je celé, značíme n\in\mathbb{Z}. Pokud by bylo přirozené, tak místo toho píšeme n\in\mathbb{N}. Například 5 je …… i …… zároveň.
Pro n,m\in\mathbb{Z} řekneme, že n dělí m, jestliže existuje k\in\mathbb{Z} takové, že n\cdot k=m. Tento fakt značíme n\mid m, v opačném případě píšeme n\nmid m. Tedy například 3\mid-12, což dostaneme volbou k=\ldots\ldots, ale 2\ldots\ldots7. Podobně fakt, že n dává po dělení k stejný zbytek jako m, značíme n\equiv m\pmod{k}. Například 13\equiv\ldots\ldots\pmod{4}, nebo 17\equiv-3\pmod{\ldots\ldots}.
Pro m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N} dále píšeme m^n=\underbrace{m\cdot m\cdots m}_{n\hbox{ -krát}}. Tedy například 3^2=3\cdot3=\ldots\ldots, 5^3=\ldots\ldots\cdot\ldots\ldots\cdot\ldots\ldots=\ldots\ldots a 2^5=\ldots\ldots. Pokud n=0, pak definujeme m^n=1. Tedy například 9^0=\ldots\ldots.
Pomocné tvrzení: Pro libovolné celé n\ge0 platí 10^{n}\equiv(-1)^n\pmod{11}.
Důkaz: Pro n=0 tvrzení platí, neboť 10^0=1=(-1)^0. Zároveň, pokud tvrzení platí pro nějaké celé n\ge0, tak platí i pro n+1. Vskutku,
Jelikož tvrzení platí pro n=0, platí i pro n=1. Díky tomu platí i pro n=2, a tak dále. Platí tedy pro všechna celá n\ge0.
Tvrzení: Mějme přirozené číslo n, jehož cifry číslujeme zprava od nuly. Označme s a l součty jeho cifer na sudých a lichých pozicích. Pak platí, že 11\mid n právě tehdy, když 11\mid s-l.
Důkaz: Zapišme si
kde a,b,c,d,\ldots jsou cifry čísla n.
Z pomocného tvrzení víme, že
Neboli n dává po dělení 11 stejný zbytek jako …… , což je přesně rozdíl součtů cifer na sudých a lichých pozicích.
