Zadání 3. série 41. ročníku Pikomatu

Termín odeslání: 12. ledna 2025

Letadla na Antarktidě přistávají na ranvejích vytesaných přímo do ledu.

Úloha 1

Lachtan Lach a lachtan Tan chytali včera ryby. Kdyby Lach nachytal dvakrát tolik ryb, než kolik jich včera nachytal, měli by dohromady 11 ryb. Kdyby Tan nachytal třikrát tolik ryb a Lach dvakrát tolik, měli by dohromady 21 ryb. Určete, kolik ryb včera nachytal Lach a kolik jich nachytal Tan. Postup zdůvodněte.

První pozorování ozonové díry proběhlo francouzskými výzkumníky v 80. letech 20. století nad Antarktidou.

Úloha 2

Skupina 33 tučňáků se baví o tom, kdo se rád klouže po ledě a kdo rád skáče šipky. Zjistili, že 10 z nich nemá rádo ani jedno a 7 má rádo obojí. Pokud víme, že počet tučňáků, kteří se rádi kloužou po ledě, je stejný jako počet tučňáků, kteří rádi skáčou šipky. Určete, kolik tučňáku rádo skáče šipky a výsledek zdůvodněte.

V červenci v roce 1983 byla na stanici Vostok naměřená dosud nejnižší teplota na Zemi a to -89{,}2\,\deg {\rm C}. Vývrt ledových jader v okolí stanice poskytl data o klimatu za stovky tisíc let.

Úloha 3

Rico a Kowalski hrají hru, ve které se figurka pohybuje po hrací ploše na obrázku zad311, přitom figurka začíná v políčku úplně nahoře. Cílem Rica je dostat figurku na co nejmenší číslo, zatímco Kowalski chce co největší číslo. Hráči se střídají v tazích, začíná Rico. V každém tahu hráč posune figurku o patro níže na libovolné sousední políčko. Hra končí, když figurka dosáhne spodního patra. Pokud oba hrají optimálně, na kterém políčku figurka skončí? Popište strategie hráčů.

Na Antarktidě žije císařský tučňák, největší druh tučňáka na světě. Tito tučňáci dokážou přežít nejkrutější mrazy až -60\,\deg{\rm C}. Během antarktické zimy chodí na dlouhé cesty po ledě, aby našli potravu.

Úloha 4

Kaya by si ráda z ledu vysekala trojboký jehlan s celočíselnými délkami hran. Chtěla by, aby všechny hrany měly různé délky a celkově aby součet délek hran byl 25\cm. Může si takový jehlan z ledu vysekat?

Antarktida je jediný světadíl bez přesně definovaného časového pásma. Vědci působící na Antarktidě se řídí podle časového pásma své domovské země.

Úloha 5

John Smith se snaží dostat do výzkumné stanice Vostok, ale zapomněl čtyřmístný pin kód. Naštěstí si pamatuje cifry, ale zapomněl jejich pořadí. John: „Achjo, to musím vyzkoušet 12 možností.“ Přicupital tučňák a říká: „Johne, pokud se cifra v pinu rovná druhé mocnině nějakého celého čísla, pak sousedí pouze s nižšími ciframi.“ John: „Skvělé! To už mám jen šest možností.“ Tučňák: „A taky ten pin má na druhém místě pětku.“ John: „Tak to už vím“

Rico slyšel tento rozhovor a chce se dostat do stanice. Pomozte mu. Na zadání pin kódu má však jen tři pokusy. Napište, které piny má zkusit a dobře popište, proč zrovna tyto.

Pokud se rozhodnete během zimních měsíců na Antarktidě zůstat, musí vám být vytrženy všechny zuby moudrosti a vyoperováno slepé střevo. Polární stanice jsou totiž během zimy naprosto izolované a v případě potíží by se na ně nedalo dopravit.

Úloha 6

Do ledovce je vysekaný obrázek obdélníku ABCD a vevnitř bod M, přičemž |AM| = 8\cm, |BM| =4\cm, |DM| =7\cm. Určete |CM| a dobře popište, jak jste se k výsledku dostali.

Suchá údolí McMurdo na Antarktidě je oblast, která bývá považována za nejsušší místo na světě. Jeho podmínky připomínají podmínky na Marsu, proto jde o místo velmi významné pro vědu.

Úloha 7

Tučnák Apuk našel na své procházce číslo x, pro které platí x^3 + x^2 = 1. Apuk si všiml, že \frac{1}{1-x} = Ax^2 + Bx + C, kde A,B,C jsou nějaká celá čísla. Určete A,B,C a dobře popište, jak jste k výsledku došli. Čísla A,B,C zapište jako čísla složená pouze z číslic. Čísla A,B,C určete taková, aby byla rovnice splněna pro každé x, které splňuje x^3 + x^2 = 1.