Zadání 2. série 41. ročníku
\def\cm{\,{\rm cm}} Termín odeslání: 1. prosince 2025
Pravidla pro odevzdávání řešení najdete zde. O tom, jak řešení sepisovat, si můžete přečíst zde nebo se podívat na video.
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Celý leták najdete ve formátu pdf zde. Samostatné zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Ve starověkém Egyptě jako první rozdělili den na 24 hodin. Přitom 12 hodin připadlo na den od východu Slunce do západu, 12 na noc. Noční hodiny tedy byly kratší než denní.
Úloha č. 1
Anippe vyplňovala formulář (dne 20. října 2025), ale omylem prohodila poslední dvě cifry v roce svého narození. Tímto činem jakoby zestárla o 36 let. Kolik je Annipe doopravdy let, pokud víme, že jí ještě nebylo 36?
Egypťané ve starověku pracovali s kmennými zlomky. Ty mají jedničku v čitateli. Ostatní zlomky vyjadřovali jako součty kmenných zlomků.
Úloha č. 2
Ramesses napsal do písku pět přirozených čísel 0<a<b<c<d<e, jejichž součet je 31. Víme, že e je třikrát větší než a. Jaké číslo představuje proměnná d?
Ve starověkém Egyptě nebyla „pravda“ jen adekvace výroku se skutečností, ale především silou, která drží svět v řádu — Maat. Život člověka se nakonec ověřoval „vážením srdce“ proti pírku Maat: kdo nelhal a neporušoval řád, vyšel „pravdou ospravedlněný“ (maa-cheru).
Úloha č. 3
V osadě žijí jen velmi zásadoví lidé, kteří se ale dělí na dvě skupiny - poctivci a padouši. Poctivci vždy mluví pravdu a padouši vždy lžou. V následující úloze zjistěte, kdo je padouch a kdo poctivec.
V osadě jsme potkali tři obyvatele: Alfréda, Blaženu a Cyrila. Zeptali jsme se Alfréda: “Jsi padouch nebo poctivec?” Alfréd odpověděl potichu, takže jsme mu nerozuměli. Zeptali jsme se tedy Blaženy: “Co řekl Alfréd?” Blažena odpověděla: “Alfréd říkal, že je padouch.” V tom okamžiku Cyril dodá: “Nevěř Blaženě, ta lže”
Staří Egypťané byli mistry geometrie. Po každé záplavě Nilu museli znovu vytyčit pole, a tak vymysleli způsoby měření délek, ploch i úhlů dávno před vznikem řecké matematiky. Slovo „geometrie“ znamená doslova „měření země“.
Úloha č. 4
Emil má pole tvaru rovnoramenného lichoběžníka. Délka úhlopříčky jeho pole je 144 metrů, přitom úhlopříčka svírá úhel 45 stupňů se základnou lichoběžníka. Určete obsah Emilova pole.
Sahara, která dnes představuje vyprahlou poušť, byla před 5 000 lety plná řek a jezer.
Úloha č. 5
Isesi a Khufu stojí na sousedních stranách čtvercového prostranství, které je čtvercovou mřížkou řek rozdělené na 2025 \times 2025 ostrůvků. Hráči se střídají v tazích, přičemž Khufu začíná. V každém tahu si hráč vybere jeden prázdný ostrůvek a hodí na něj oblázky své barvy (Isesi má hnědé oblázky a Khufu šedé). Hráč nemusí vybírat sousední ostrůvky, může i jednou hodit doprostřed a pak do rohu. Vyhraje ten, kdo bude moci jako první přejít na protější stranu celého prostranství jen po své cestě ostrůvků. Může některý z hráčů zaručeně vyhrát, pokud oba hrají optimálně? Pokud ano, dobře popište vyhrávající strategii. Pokud ne, ukažte strategii, která výhře vždy zabrání.
Varianty:
a) Stačí, aby ostrůvky cesty sousedily hranou nebo vrcholem. (2 body)
b) Ostrůvky cesty musí sousedit přes hranu. (3 body)
Největším diamant světa Cullinan s váhou 3 106,75 karátu byl nalezen roku 1905 v Africe - kontinentu, odkud pochází přes 70 \% světových diamantů.
Úloha č. 6
Máme 42 modrých, 17 červených a 23 zelených diamantů. Diamanty se dají vyměňovat zajímavým způsobem: za dva diamanty různých barev dostaneme diamant třetí barvy. Pokud nám na konci zbyl pouze jeden diamant, jakou měl barvu?
Ve starověkém Egyptě násobili čísla pomocí sčítání a zdvojování. Např. 6\cdot 11 = 6\cdot 1 + 6\cdot 2 + 6\cdot 0 + 6\cdot 8 = 6 + 12 + 48 = 66.
Úloha č. 7
Geb si napsal rovnici 2^x = 2\cdot 3^y + 2\cdot 3^z. Pomozte mu najít všechny trojice nezáporných celých čísel x,y,z, kde y<z. Také ukažte, proč neexistují žádné další vyhovující trojice.
