Zadání 1. série 41. ročníku
\def\cm{\,{\rm cm}} Termín odeslání: 20. října 2025
Pravidla pro odevzdávání řešení najdete zde. O tom, jak řešení sepisovat, si můžete přečíst zde nebo se podívat na video.
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Celý leták najdete ve formátu pdf zde. Samostatné zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Hlavní město Austrálie Canberra bylo založeno jako kompromis přesně mezi městy Sydney a Melbourne, které se přetahovaly o ekonomickou a politickou moc.
Úloha č. 1
Pravidelnou šesticípou hvězdu z obrázku zad111 rozdělte třemi rovnými řezy na několik částí. Ze všech vzniklých částí složte jeden konvexní mnohoúhelník. Konvexní mnohoúhelník nemá díry a všechny jeho vnitřní úhly jsou menší nebo rovny 180 stupňům.
Na světě existují jen dva druhy savců, kteří kladou vejce. Oba pocházejí z Austrálie; jedná se o ptakopysky a ježury.
Úloha č. 2
Ptakopyskové jsou očíslováni přirozenými čísly od 1 do 5, ježury jsou očíslovány přirozenými čísly od 6 do 10. Někteří ptakopyskové se kamarádí s některými ježurami (každý může mít více kamarádek) tak, že:
- každá ježura má takové číslo, jaký je součet čísel jejích ptakopysčích kamarádů,
- každý ptakopysk má takové číslo, kterým je dělitelná alespoň polovina čísel jeho ježuřích kamarádek.
Kamarádsví je vzájemné, tedy když se ptakopysk kamarádí s ježurou, tak se ježura kamarádí i s ptakopyskem.
Například ježura číslo 7 se může kamarádit kvůli prvnímu pravidlu s ptakopysky s čísly 3 a 4. A ptakopysk číslo 2 se může kamarádit s ježurami s čísly 6 a 7, ale teď už se kvůli druhému pravidlu nemůže kamarádit s ježurou číslo 9.
Stačí nakreslit jedno vyhovující řešení.
Burger king se v Austrálii jmenuje „Hungry Jack's“ kvůli lokální restauraci, která si jméno zabrala dříve.
Úloha č. 3
Krokodýl Dundee jde do obchodu, kde prodávají dva druhy housek jako na obrázku zad131. Jedny jsou rozděleny na 6 dílků a druhé na 8 dílků. Dundee chce koupit 17 housek tak, aby je mohl rozlámat na dílky a každé z 23 koal dát stejný počet dílků (dílky nelze dělit jinak, než jak je naznačeno na obrázku). Poraďte mu, kolik si má koupit kterých. Případně dobře zdůvodněte, proč se mu to nemůže povést.
Australané v roce 1932 vyhlásili válku proti ptákům emu a prohráli. Později téhož roku vyhlásili válku znovu. A znovu prohráli...
Úloha č. 4
Emu skáče po čtvercové mřížce o velikosti 25\times 25. Vždy začne v levém horním rohu a skáče o jedno pole dolů, nebo doprava, až doskáče do pravého dolního rohu. Vždy při doskoku za sebou zanechá šlápotu. Pak se okolo mřížky vrátí zase do levého horního rohu. Kolikrát nejméně musí takto přeskákat celou tabulku, aby dokázal na každém políčku mřížky zanechat šlápotu? Celou strategii popište a zdůvodněte, proč mu méně skákání nevystačí.
Jedno přeskákání zmenšené tabulky lze vidět na obrázku zad141.
Součástí souostroví Mikronésie je ostrov nesoucí název Yap.
Úloha č. 5
Eliška má kouli o poloměru 2 \cm. Kolem ní sestrojila co nejmenší drátovou krychli, tedy krychle měla pouze hrany a ty byly co nejvíce natěsno kolem koule. Jak dlouhé hrany tato krychle má? Výsledek zdůvodněte.
Jediní savci, kteří se původně nacházeli na Novém Zélandu, jsou netopýři.
Úloha č. 6
Vítek si do písku napsal přirozená čísla od 1 do 9. Vítek trojici čísel a<b<c považuje za ošklivou, pokud b-a=c-b (např. trojice 1,4,7 je ošklivá, jelikož 4-1=3=7-4). Smažte co nejméně čísel z písku tak, aby ve zbylých číslech nezůstala žádná ošklivá trojice. Jedno řešení ukažte a popište, proč neexistuje řešení, které maže méně čísel.
Na Novém Zélandě je dvakrát více ovcí než lidí.
Úloha č. 7
Anthony a Edmund hrají hru na nekonečném množství nekonečných řádků. Pánové se střídají v tazích, Anthony začíná. Anthony vždy nakreslí človíčka do nějakého prázdného políčka, Edmund nakreslí ovečky do nějakých dvou prázdných políček. Vybraná políčka spolu nemusí sousedit. Cílem hry je nakrelit 10 svých symbolů hned vedle sebe do jednoho řádku. Kdo má vyhrávající strategii? Dobře ji popište.
