Zadání 5. série 41. ročníku Pikomatu Junior
Termín odeslání: 30. 3. 2026
Pikomat Junior je pro řešitele 3. až 6. tříd, můžou se zúčastnit i mladší.
Jak řešit, odevzdávat a další důležité informace ohledně Pikomatu Junior naleznete zde.
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Celý leták najdete ve formátu pdf zde. Zadání je k dispozici také ve formátu pdf. Velice doporučujeme dětem dát toto vytištěné zadání.
Úloha č. 1
Na obrázku jsou znázorněny všechny vrcholy dvou čtverců. Vypočítej obsah jejich společné části. Strana čtverečku přitom měří 1 cm.
Úloha č. 2
Terka dostala čtyři shodné pravoúhlé trojúhelníky se stranami délek 3 cm, 4 cm a 5 cm. Z těchto trojúhelníků (ne nutně ze všech čtyř) zkoušela skládat nové útvary. Postupně se jí podařilo složit čtyřúhelníky s obvodem 14 cm, 18 cm, 22 cm a 26 cm, a to pokaždé dvěma různými způsoby (tj. tak, že žádné dva čtyřúhelníky nebyly shodné). Nakresli ke každému obvodu alespoň jeden možný útvar.
Úloha č. 3
Původně zde stála krychle složená ze 125 shodných kostiček. Postupně z ní však kostiček ubývalo, až se dostala do stavu znázorněného na obrázku. Celý tento útvar byl poté přestříknut ochranou barvou (a to i zespodu). Nyní se krychle rozsypala na dílčí kostičky.
a) Kolik kostiček má alespoň jednu stěnu nabarvenou a kolik je celkem nabarvených stěn?
b) Je možné kostičky útvaru přeskládat do krychle o straně 4 tak, aby žádná část povrchu nebyla nabarvená?
Úloha č. 4
Na zlomky narážíme v matematice velmi často, takže si o nich něco povíme. Přirozeně se s nimi můžeme setkat třeba při spravedlivém rozdělování věcí mezi lidi. Představme si, že máme třeba 15 jablek a rozdělujeme je mezi 3 lidi. Zjistíme, že když každý dostane … jablek, všichni budou mít stejně a zároveň na takové rozdělení skutečně využijeme … \cdot 3 = 15 jablek. Tímto jsme vlastně odpověděli na otázku, kolik je 15 : 3, protože rozdělujeme 15 jablek mezi 3 lidi.
Co kdyby nás ale zajímalo, kolik je 1 : 2? Mohlo by nás třeba napadnout, že 0 je málo, protože 0 \cdot 2 = 0 (to je menší než 1), a 1 je moc, protože 1 \cdot 2 = 2 (a to je zase větší než 1). Znamená to, že v takovém případě nemá dělení řešení? Zkusme se nad tím zamyslet. Když máme 1 jablko a chtěli bychom jej rozdělit mezi dva lidi tak, aby to bylo spravedlivé, můžeme situaci prakticky vyřešit tak, že jablko vezmeme, rozpůlíme a každý dostane půlku. Oba lidé budou mít stejně, což byl cíl našeho dělení. Podobně k tomu přistoupíme i v matematice. Řekneme, že dělení 1 : 2 má výsledek, ale není celočíselný, což odpovídá tomu, že jsme nemohli jablka rozdělit tak, aby každý dostal nerozdělené jablko. V matematice bychom řekli, že výsledek našeho dělení je \frac12, což přečteme jako „jedna polovina“. Toto číslo nám tedy určuje, kolik jablek dostane každý ze dvou lidí, pokud jsme mezi ně rozdělili jedno jablko a oba mají stejně.
Podívejme se na to, jak takový zlomek vypadá. Je složen z čísla nahoře, čísla dole a čáry, která tato dvě čísla odděluje. Číslu nahoře říkáme čitatel. Ten udává, kolik věcí (v našem případě jablek) rozdělujeme. Číslu dole říkáme jmenovatel. Ten nám udává, mezi kolik lidí rozdělujeme. A té čáře říkáme zlomková čára. Je tam proto, aby bylo všem jasné, že jsme napsali zlomek, a ne jen dvě čísla nad sebou.
Když jsme zkoumali výsledek 15 : 3, hledali jsme číslo, které po vynásobení třemi dává 15. Stejně tak když se zajímáme o výsledek 1 : 2 a definujeme si jej jako \frac12 , znamená to, že \frac12 má tu skvělou vlastnost, že když ji vynásobíme dvěma, dostaneme 1. Neboli platí, že \frac12 \cdot 2 = 1. Nakonec můžeme zkusit udělat nějaké odhady. Už víme, že 0 je pro výsledek 1 : 2 málo a 1 je zase moc. A když \frac12 je tak akorát, znamená to, že \frac12 … 0 a \frac12 … 1 (doplň znaménka nerovnosti).
Zkusme si to celé ještě na jednom příkladu. Chtěli bychom vydělit 15 : 4. Už víme, že výsledek můžeme zapsat zlomkem (zkuste si rozmyslet, že to nejde celým číslem). V čitateli bude jakoby počet věcí, které bychom rozdělovali (což je číslo …), a ve jmenovateli bude jakoby počet lidí, mezi které rozdělujeme. To je číslo … Nezapomeneme oddělit čitatele a jmenovatele zlomkovou čarou, nakonec zapíšeme, že 15 : 4 = … (doplň zlomek). Přečteme to jako „patnáct čtvrtin“. Víme, že když náš zlomek vynásobíme čtyřmi, dostaneme 15, tedy … \cdot 4 = 15 (doplň ten stejný zlomek). Nakonec se pokusíme najít dvě celá čísla, mezi kterými se zlomek nachází. Kdybychom řekli, že 15 : 4 = 4, bylo by to … (málo/moc), protože 4 \cdot 4 > 15. Kdybychom zase řekli, že 15 : 4 = 3, bylo by to … (málo/moc), protože 3 \cdot 4 < 15. Takže můžeme říct, že náš zlomek je … (větší/menší) než 4 a … (větší/menší) než 3.
Teď se podíváme na některé zajímavé vlastnosti zlomků. Mohlo by nás třeba zajímat, jestli můžeme zlomky sčítat. Nejprve si vezmeme dva zlomky se stejným jmenovatelem. Třeba \frac 75 a \frac 85 . Zkusíme si zase rozmyslet na rozdělování, jaký by mohl být jejich součet. Zlomek \frac 75 říká, že se mezi 5 lidí rozdělilo 7 jablek. Zlomek \frac 85 říká, že se mezi 5 lidí rozdělilo 8 jablek. Sčítání si tady představme tak, že jsem jeden z pěti lidí, nejdřív se mezi nás pět spravedlivě rozdělí 7 jablek a pak dalších 8. Zajímáme se o to, kolik jsem z obou rozdělení dohromady dostal jablek (nejprve dostanu \frac 75 a pak ještě \frac 85 ). Tím, že obě rozdělení proběhla spravedlivě (každý dostal stejně), můžeme říct, že celkem má každý stejně jablek (byť zatím nevíme kolik). Také ale víme, že dohromady bylo rozděleno … (doplň číslo) jablek. Dělili jsme vždy mezi 5 lidí a každý dostal celkově stejně, tedy \frac {\ldots} 5 jablek. To bychom ale mohli vydělit, abychom dostali jednodušší výsledek! Takže bychom mohli říct, že každý dostal … (doplň celé číslo) jablka.
Obecněji si můžeme rozmyslet (a udělali bychom to úplně stejně jako v minulém příkladu), že když sčítáme dva zlomky se stejným jmenovatelem, stačí sečíst ty dva čitatele a jmenovatel se nezmění. Někdy se může stát, že se dá zlomek zjednodušit tím, že se na něj podíváme jako na dělení (což se právě stalo v minulém příkladu).
Problém ale nastane, pokud bychom chtěli sečíst dva zlomky s různými jmenovateli. Například \frac 23+\frac 16 . Jak bychom vůbec něco takového mohli udělat? Opravdu by se nám hodilo, kdyby měly zlomky stejného jmenovatele, pak bychom je mohli sečíst podobně jako v minulém příkladu. Proto si něco řekneme o úpravě zvané rozšíření zlomku.
Můžeme se zkusit zaměřit na první zlomek, tedy \frac 23 . Ten vyjadřuje, kolik dostane každý ze tří lidí, pokud mezi ně rozdělíme dvě jablka. Máme tedy dvě jablka a rozdělíme je mezi tři lidi. Pak si ale zavoláme další tři lidi a zase mezi ně rozdělíme nová dvě jablka. Teď si můžeme všimnout, že každý má stejně jablek, a to \frac 23 . Když ale má všech šest lidí stejně, také bychom mohli říct, že jsme celkem spravedlivě rozdělili … (doplň číslo) jablka mezi 6 lidí, takže každý vlastně dostal \frac {\ldots } 6 (doplň čitatel) jablek. Zjistili jsme, že hodnoty \frac 23 a \frac {\ldots } 6 jsou stejné. Neboli při dělení dvou jablek mezi tři lidi dostane každý z lidí stejně, jako když by se zúčastnil dělení … jablek mezi šest lidí. Můžeme tedy psát, že \frac 23=\frac {\cdots } 6 . Tyto dva zlomky nám nepopisují stejný proces (jeden se týká dělení mezi tři lidi a druhý dělení mezi šest lidí), ale důležité je, že hodnota zlomku (tedy odměna pro jednoho člověka) je v obou děleních stejná.
Jak už jsem zmínil, úpravě, která nám umožňuje změnit čitatele i jmenovatele zlomku, aniž by došlo ke změně hodnoty zlomku, říkáme rozšíření. Ukážeme si to na ještě jednom příkladu. Máme zlomek \frac 45 a chtěli bychom z něj udělat jiný zlomek se stejnou hodnotou, který bude mít ve jmenovateli 15. Máme 4 jablka a rozdělujeme je mezi 5 lidí. Každý dostane \frac 45 jablek. Vezmeme si tři takové pětičlenné skupiny a v každé rozdělíme rovnoměrně 4 jablka. Všech 15 lidí má stejně, a to \frac 45 . Ale také víme, že jsme dohromady rozdělili … jablek mezi … lidí, takže každý má \frac {\ldots }{15} jablek. Takže \frac 45=\frac {\ldots }{15} . Můžeme si rozmyslet, že jsme čitatele i jmenovatele vynásobili stejným číslem, a to počtem pětičlenných skupin. Tolikrát se totiž zvětšil počet lidí i počet rozdaných jablek.
Obecněji bychom mohli říct, že rozšíření zlomku je úprava, při které vynásobíme čitatele i jmenovatele stejným číslem (hodnota zlomku se nezmění). Stejně tak můžeme čitatele i jmenovatele vydělit stejným číslem, přičemž hodnota zlomku také zůstane stejná. Pokud třeba víme, že \frac 12=\frac 7{14} (rozšíření), můžeme stejně tak \frac 7{14} upravit na \frac 12 tím, že čitatel i jmenovatel vydělíme sedmi (ke změně hodnoty zlomku nedošlo).
Nyní se můžeme vrátit k součtu \frac 23+\frac 16 . Už víme, že \frac 23 =\frac {\ldots}6 , takže \frac 23+\frac 16=\frac {\ldots } 6+\frac 16=\frac {\ldots }6 (doplň čitatel), protože zlomky se stejným jmenovatelem už sčítat umíme.
Nakonec se podíváme na násobení zlomků. Mohlo by se zdát, že násobit zlomek zlomkem nemůže mít výsledek – násobení je přece několikanásobné přičítání nějakého čísla k nule, takže když bychom chtěli násobit třeba \frac 47 \cdot \frac 53 , znamená to, že přičteme \frac 53 k nule \frac 47 krát? Takhle na to asi jít nemůžeme, ale kdybychom násobili tře-ba 5 \cdot \frac 47 , můžeme úvahu o opakovaném sčítání použít. Napíšeme si to jako \frac 47+\frac 47+\frac 47+\frac 47+\frac 47 , což zjednodušíme na \frac {\ldots } {\ldots } (doplň výsledek), protože sčítat zlomky už umíme. Dva zlomky naštěstí násobit můžeme, akorát na to musíme jít trochu jinak. S využitím toho, co o zlomcích už víme, si zkusíme odvodit, jak bychom je měli násobit.
Naším příkladem bude \frac 25 \cdot \frac 73 . Zkusíme se na to podívat více matematicky, protože rozdělování jablek tady moc nedává smysl (jak bychom vůbec mohli násobit nějaké části jablek?). O zlomku \frac 25 víme, že když ho vynásobíme pěti, dostaneme dva. A o zlomku \frac 73 víme, že když ho vynásobíme … (doplň číslo), dostaneme … (doplň číslo).
Tak dobře, abychom těchto dvou vlastností využili, zkusíme vynásobit \frac 25 \cdot \frac 73 pěti a poté ještě třemi (tedy vlastně patnácti). Dostaneme, že \frac 25 \cdot 5 \cdot \frac 73 \cdot 3=2 \cdot 7 =14. Znamená to, že \frac 25 \cdot \frac 73 =14? To úplně ne. Nemůžeme jen tak vynásobit příklad nějakým číslem, to nám přece změní výsledek! Kdybychom měli 2 + 3 a vynásobili ten příklad dvěma, dostaneme 4 + 6, což má jiný výsledek, než když příklad nevynásobíme dvěma. Naštěstí jsme se i tak vydali správným směrem. My jsme příklad vynásobili patnácti, a když ho pak zase vydělíme patnácti, měl by být výsledek stejný jako v původním příkladu \frac 25 \cdot \frac 73 . Už víme, že po vynásobení patnácti jsme dostali výsledek 14. Po vydělení patnácti tak dostaneme výsledek 14 : 15 = … (zapiš zlomkem). To je tedy výsledek \frac 25 \cdot \frac 73 .
Zkusíme si to ještě jednou. Tentokrát ale trochu jinak. Budeme násobit zlomky \frac 43 \cdot \frac 58 a podíváme se na to obrázkem. Připomeneme si, jak si můžeme nakreslit násobení celých čísel. Když máme 5 \cdot 6, můžeme si nakreslit třeba čokoládu, která bude rozdělená na 5 čtverečků vodorovně a 6 svisle. Násobení jakožto opakované sčítání nám říká, kolik čtverečků má čokoláda. V našem případě je to 30.
Když budeme chtít násobit zlomky, můžeme udělat něco podobného. Chtěli bychom zjistit, kolik čtverečků má tabulka s rozměry \frac 43 čtverečku a \frac 58 čtverečku. Jak si to můžeme představit? Vraťme se k tomu, co jsme si o zlomcích řekli na začátku. Číslo \frac 43 popisuje dělení 4 věcí rovnoměrně mezi tři lidi, obecněji na tři části. Pokud si tedy představíme, že délku 4 čtverečků rozdělíme na 3 stejné části, bude mít jedna část délku \frac 43 čtverečku. Stejně tak když si představíme délku pěti čtverečků rozdělenou na 8 stejných částí, bude mít každá část délku \frac 58 čtverečku. Pro násobení si tedy představíme tabulku 4 \times 5 čtverečků (nalevo), kde délku 4 čtverečků rozdělíme na 3 části a délku 5 čtverečků rozdělíme na 8 částí (napravo). Stejně jako v případě násobení celých čísel by výsledek násobení měl určit, kolik čtverečků má zabarvená část tabulky (s rozměry \frac 43 čtverečku a \frac 58 čtverečku).
Tabulka nalevo a napravo je stejně velká, její „velikost“ je … čtverečků. Z obrázku napravo vidíme, že tabulka je rozdělena na … obdélníčků, každý má stejné rozměry. Takže tabulku s … (doplň číslo) čtverečky jsme rozdělili na … (doplň číslo) stejných částí. Protože nás zajímá počet čtverečků v jednom obdélníčku, je to vlastně analogie k tomu, kdybychom těch … čtverečků rozdělili spravedlivě mezi … lidí, tak aby každý dostal právě jeden obdélníček. Takže když to zapíšeme zlomkem, dostaneme … To bychom mohli upravit krácením. Čitatele i jmenovatele můžeme vydělit čtyřmi, takže nakonec zjistíme, že \frac 43 \cdot \frac 58= … (doplň výsledek).
Úloha č. 5
V obou částech uveď postup řešení.
a) Sečti zlomky \frac 56 + \frac 3{10} . Nejprve zkus oba zlomky rozšířit (ne nutně stejným číslem) tak, aby měly stejné jmenovatele. Až zlomky sečteš, zkus se zamyslet, jestli by nešlo výsledný zlomek vykrátit nějakým číslem.
b) Vynásob zlomky \frac 34 \cdot \frac 56 . Můžeš využít jakýkoliv postup, který jsme si ukázali (nebo klidně i nějaký jiný). Pokud budeš chtít řešit pomocí čokoládové tabulky, nakresli ji prosím do svého řešení. Na závěr zkus zase přemýšlet, jestli bychom výsledný zlomek nemohli něčím vykrátit.
