Zadání 2. série 40. ročníku

\def\cm{{\rm\,cm}} Termín odeslání: 9. 12. 2024

Pravidla pro odevzdávání řešení najdete zde. O tom, jak řešení sepisovat, si můžete přečíst zde nebo se podívat na video.

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Celý leták najdete ve formátu pdf zde. Samostatné zadání je k dispozici také ve formátu pdf.

V letáku naleznete průvodní povídání, které vám s některými úlohami z této série pomůže, nebo si ho přečtěte zde.

---

Jedním z nejchytřejších dinosaurů byl Troodon.

Úloha č. 1

Ankylosaurus měl na zádech jeden kámen tvaru čtverce. Po prvním roce už měl na zádech 5 kamenů, po druhém roce 13 kamenů. Postupně rostly jako na obrázcích zad211, zad212, zad213, zad214. Určete, kolik kamenů měl ankylosaurus na zádech po stém roce.

Jedním z nejhloupějšich dinosaurů byl stegosaurus. Jeho mozek byl velký asi 3 centimetry.

Úloha č. 2

Stegosaurus si myslí číslo. Prozradil, že se jedná o největší celočíselný násobek čísla 9 takový, že žádné dvě cifry nejsou stejné a že všechny cifry jsou sudé. Zjistěte, jaké číslo si stegosaurus myslí.

Dinosauři žili na Zemi déle, než jak dlouho už jsou vyhynulí. Za jejich života tedy už existovaly dinosauří fosílie.

Úloha č. 3

Argentinosaurus si do písku napsal čísla 1,2,3, ..., 20. Pak vždy dvě vybral, označme je x a y, smazal je a do písku zpátky napsal číslo x+y-1. Takto pokračoval, až mu v písku zbylo jen jedno číslo. Určete všechna možná čísla, která mu mohla zbýt.

Nejdelší rodové jméno dinosaurů má micropachysephalosaurus a znamená „malý tlustohlavý ještěr“. Naopak nejkratší rodové jméno má čínský teropod Yi.

Úloha č. 4

Sarahsaurus Sára a sarahsaurus Mára proti sobě hrají hru. Mají tabulku 8 \times 8, v pravém horním rohu je figurka tyranosaura Báry. Sára a Mára se střídají v tazích, Sára začíná. v jednom tahu hráč posune Báru o jedno pole dolů, nebo o jedno pole doleva, nebo o jedno pole šikmo doleva dolů. Kdo posune Báru na rohové pole vlevo dole, vyhraje. Určete, jestli má výherní strategii Mára nebo Sára a dobře ji popište.

Varianta za 3 body: hrají na tabulce velikosti 3 \times 3.

Slovo „dinosaurus“ pochází z řečtiny a znamená „strašný ještěr“.

Úloha č. 5

Čísla x a y jsou přirozená. Víme, že 3\mid x+y a že 3\mid x-y. Rozhodni, jestli z toho pak nutně plyne, že 9\mid x^{2}+y^{2}.

K vyřešení této úlohy se může hodit letošní Průvodní povídání o teorii čísel. Modulo teď ještě potřeba není.

Nejdelší drápy měl therizinosaurus a byly dlouhé až jeden metr.

Úloha č. 6

Therizinosaurus našel zvláštní obdélníkový stůl. Šel tedy kolem stolu a postupně měřil délky jeho noh. První noha měřila 90 \cm, druhá 95 \cm, třetí 105 \cm a čtvrtá chyběla. Spočítejte, kolik by měla měřit ta čtvrtá noha, aby se pak všechny nohy dotýkaly země.

Microraptor gui měl čtyři křídla.

Úloha č. 7

Ve skále byl vytesán obrazec zad271. Určete plochu šedé oblasti, pokud každý kruh měl poloměr 1 \cm.