Nástiny řešení 1. série Pikomatu

Upozorňujeme, že nástiny řešení nejsou kompletní vzorová řešení. Jedná se často pouze o částečné argumenty, které nastníní nějakou možnost, jak by se úloha mohla řešit. Za odevzdání by nemusel být plný počet bodů.

Úloha 1

Čtverec ABCD má obsah 144 m^2, tedy jeho strany mají délku \sqrt{144}=12 metrů. Strana AB je tedy dělena na dvě části o délkách 4 a 8, a strana BC na části o délkách 9 a 3. Bílý obdélník uvnitř čtverce ABCD má tedy obsah 8\cdot9=72, a když tento obdélník sloučíme s šedým teritoriem, dostaneme útvar o obsahu (8+7)\cdot(9+1)=150. Šedé teritorium má tedy obsah 150-72=78.

Úloha 2

Nejprve si povšimněme, že teritorium uprostřed dole sousedí se všemi ostatními. Zároveň vezmeme-li si libovolného dinosaura jiného, než pterodaktyla, najdeme k němu alespoň jednoho jiného dinosaura, se kterým nesousedí. Tedy dole uprostřed může být pouze pterodaktyl.

Dále víme, že triceratops nesousedí s dvěma dalšími dinosaury - stegosaurem a tyranosaurem. Pokud by se triceratops nacházel v levém horním či prostředním horním teritoriu, nebylo by již kam stegosaura a tyranosaura umístit. Tedy musí být teritorium triceratopse buďto vlevo dole, nebo vpravo. Podobně se dá ukázat, že v jednom z těchto teritorií musí být i stegosaurus.

Počet možností, kterými lze stegosaura a triceratopse do těchto dvou teritorií umístit, je roven dvěma. Pro každou z těchto možností je již dále právě jeden způsob, jak umístit zbylé dinosaury. Tedy existují právě dva způsoby, jak dinosaurům rozdělit jejich teritoria.

Úloha 3

Počet highfive v celé skupině můžeme spočítat jako součet highfive jednotlivých dinosaurů děleno dvěma (jeden highfive započítáme jednou z jedné strany a podruhé z druhé strany).

Ve skupině 10 dinosaurů jeden dinosaur dal 9 highfive. To vynásobíme počtem dinosaurů, tedy čislem 10. A nakonec vydělíme dvěma. Celkový počet je 9\cdot 10 / 2 = 9 \cdot 5, což je liché.

Ve skupině 11 dinosaurů to je 10 \cdot 11 / 2 = 5 \cdot 11, což je liché.

Ve skupině 40 dinosaurů to je 39 \cdot 40 / 2 = 39 \cdot 20, což je sudé.

Ve skupině 41 dinosaurů to je 40 \cdot 41 / 2 = 20 \cdot 41, což je sudé.

Úloha 4

Označme S počet kamenů, které snědl stegosaurus, V počet kamenů, které snědl velociraptor, a A počet kamenů, které snědl argentinosaurus.

Pro k rovno největšímu společnému děliteli S a A přepíšeme 15S = 19A na S = 19k a A = 15k.

Z S + 6 = V + A máme 19k + 6 = V + 15k, tedy V = 4k + 6.

Z 3V < A máme 3(4k+6) < 15k, tedy 18 < 3k, z čeho po vydělení šesti dostaneme k > 6.

Protože V < 37, tak 4k+6<37, tedy k < 8. Jednoznačně dostáváme k=7.

Stegosaurus snědl 133 kamenů, velociraptor snědl 34 kamenů a argentinosaurus snědl 105 kamenů.

Úloha 5

Ve variantě za 3 body skočí velociraptor na číslo 4. Triceratops musí skočit na číslo 2 nebo 3. Velociraptor pak využije skok na číslo 1 a vyhraje.

Ve variantě za 5 bodů, kde velociraptor začíná na čísle 26, bude velociraptor také chtít skočit na pole o 3 vyšší, než kde zrovna bude triceratops. Dostaneme se tak na stejnou situaci jako předtím na číslech 1 a 4. Velociraptor vždy může hrát tak, aby rozdíl jeho a triceratopsovy pozice bylo číslo dělitelné třemi. Začne tedy skokem na 25 a pak vždy dorovná dle triceratopsova skoku. Až už rozdíl bude menší než 3, triceratopse přeskočí. Vždy vyhraje velociraptor.

Úloha 6

Na šachovnici lze umístit maximálně 32 tyranosaurů. Uvažme, že jich je na šachovnici 33. Protože je 8 sloupců, v nějakém sloupci by muselo být aspoň 5 tyranosaurů (kdyby v každém sloupci byli jen čtyři tyranosauři, bylo by celkem jen 8\cdot 4 = 32 tyranosaurů). Sloupec rozdělíme na horní a spodní půlku, v některé půlce musí být aspoň tři tyranosauři (kdyby v každé půlce byli jenom dva, byli by ve sloupci jen 4 tyranosauři). Do čtyř sousedních polí v jednom sloupci opravdu nedokážeme dát 3 tyranosaury tak, aby se žádní dva neohrožovali.

Označme sloupce písmeny A--H, řádky čísly 1--8. Jedno z validních rozmístění je umístění tyranosaurů na políčka: A1, A2, A5, A6, B1, B2, B5, B6, C3, C4, C7, C8, D3, D4, D7, D8, E1, E2, E5, E6, F1, F2, F5, F6, G3, G4, G7, G8, H3, H4, H7, H8.

Úloha 7

Tvrdíme, že v obou případech vyhraje začínající hráč. Jeho výherní strategie je následující: V prvním tahu vezme kámen uprostřed hvězdy. Dále si pomyslně rozdělí všechny paprsky do dvou stejně velkých hromádek. Zbytek hry pouze kopíruje tahy svého oponenta, přičemž svůj tah udělá vždy v opačné hromádce než udělal jeho oponent. Pomyslné hromádky tak na konci každého z tahů prvního hráče vypadají stejně. Tedy pokud udělá druhý hráč nějaký tah, tak první hráč skutečně může tento tah v opačné hromádce zkopírovat. Jakýkoli tah, který udělá druhý hráč, tedy jistě není poslední. Poslední tah tedy zbývá na prvního hráče, který díky tomu vyhrává.