Zadání 6. série 40. ročníku

Termín odeslání: 12. května 2025

Pikomat Junior je pro řešitele 3. až 6. tříd, můžou se zúčastnit i mladší.

Jak řešit, odevzdávat a další důležité informace ohledně Pikomatu Junior nalezdene zde.

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf. Velice doporučujeme dětem dát toto vytištěné zadání. K dispozici je celý leták ve formátu pdf.

\def\tecky{\lower .2ex\hbox{ ..... }}

Úloha č. 1

V této úloze doplň čísla od 1 do 16 tak, aby jednička sousedila hranou s dvojkou, dvojka sousedila s trojkou, a tak dále. Například na obrázku níže je vlevo zadání a vpravo řešení. U této úlohy stačí napsat řešení (doplnit čísla), postup nevyžadujeme.

Doplň následující tabulky.

Úloha č. 2

Na obrázku níže je zobrazena velká šachovnice, kde zašedlá políčka značí zdi. Na šachovnici můžeme pokládat věže. Věž vidí na všechna políčka, která s ní sdílejí řádek nebo sloupec a nejsou blokována zdí. Tvým úkolem je položit na tuto šachovnici 6 věží tak, aby viděly na všechna volná políčka (na zdi vidět nemusí). U této úlohy stačí napsat řešení (doplnit čísla), postup nevyžadujeme.

Úloha č. 3

Na obrázku níže jsou zobrazeny dva pravidelné šestiúhelníky a jeden kosočtverec. Víme, že obsah kosočtverce je 1\,\mathrm{cm}^2. Jaký je obsah velkého šestiúhelníku? U této úlohy je pro plný počet bodů třeba i zdůvodnit, proč výsledky výjdou právě tak a nemohou vyjít jinak.

Úloha č. 4

V následujícím textu a následné úloze doplňte chybějící slova.

Nejprve si zavedeme takzvané mocniny. Mocnina, to je opakované násobení čísla samo sebou. Například

\eqalign{ 2^3&=2\cdot2\cdot2=8, \cr 1^5&=1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1=\tecky, \cr 3^2&=\tecky\cdot\tecky=\tecky, \cr 4^3&=\tecky\cdot\tecky\cdot\tecky=\tecky.\cr }

Nás budou zajímat hlavně druhé mocniny, tedy když je nahoře dvojka. Druhé mocniny mají v geometrii speciální význam, vyjadřují totiž obsah čtverce. Podíváme-li se například na dva čtverce níže, vidíme, že počet malých čtverečků uvnitř levého je 3^2=3\cdot3=9, uvnitř toho uprostřed je 4^2=\tecky\cdot\tecky=\tecky a ten vpravo jich má \tecky=\tecky\cdot\tecky=\tecky.

Obecně bychom mohli říci, že pokud a je délka strany čtverce, pak počet čtverečků uvnitř je a^2. Obsahem dále budeme myslet počet čtverečků o délce strany 1, které se vejdou do daného útvaru. Pokud tedy nyní uvážíme nějaký obdélník o stranách, které mají délky a,b, pak je jeho obsah roven a\cdot b. Například obsahy obdélníků níže jsou po řadě 3\cdot\tecky=6, \tecky\cdot\tecky=\tecky a \tecky\cdot\tecky=\tecky.

Uvažme nyní trojúhelník, jehož dvě strany svírají pravý úhel. Takovým troúhelníkům budeme říkat pravoúhlé. Například trojúhelník ABC níže pravoúhlý je, zatímco trojúhelník DEF pravoúhlý není. Stranám, které náleží pravému úhlu, budeme říkat odvěsny, zbylé straně budeme říkat přepona. Tedy například v trojúhelníku ABC jsou odvěsnami strany AB a \tecky a přeponou je strana \tecky.

Označme délky stran trojúhelníku ABC písmeny a,b,c:

Ukážeme, že pro pravoúhlé trojúhelníky platí mezi těmito délkami magický vztah a^2+b^2=c^2, kterému se říká Pythagorova věta. Tedy například pokud a=3 a b=4, pak

c^2=a^2+b^2=3^2+\tecky=\tecky.

Z toho dopočítáme, že c=\tecky. Podobně pokud by bylo a=5 a b=12, pak

c^2=\tecky+\tecky=\tecky,

tedy c=13. Nyní si pojďme ukázat, že toto magické tvrzení doopravdy platí. Pro to si nakreslíme náš trojúhelník do velkého čtverce, a to hned čtyřikrát:

Na tomto obrázku jsou dva význačné čtverce a čtyři význačné trojúhelníky. Vnější čtverec má stranu délky a+b, tedy jeho obsah je (\tecky)^2. Druhý čtverec, ten uprostřed, má stranu délky c, tedy jeho obsah je \tecky. Přeskládáme-li trojúhelníky v rámci velkého čtverce, můžeme dostat například následující útvar:

Nejprve v rámci tohoto útvaru doplň všechny délky, které jsi schopný odvodit (tak, jako jsou délky doplněné například v předcházejícím obrázku). Poté si uvědomíme, že velký čtverec má stále obsah \tecky a ani součet obsahů čtyř trojúhelníků se nezměnil. Tedy i obsah zbytku zůstává stejný.

V rámci prvního z našich dvou obrázků byl obsah zbylé části čtverce c^2. V rámci druhého obrázku můžeme obsah zbytku vyjádřit jako součet obsahů dvou čtverců. Jelikož délky jejich stran jsou a a b, jsou obsahy těchto dvou čtverců rovny \tecky a \tecky. Jelikož se obsah c^2 rovná součtu obsahů a^2 a b^2, platí c^2=a^2+b^2, což jsme chtěli ukázat.

Úloha č. 5

Spočítej délku přepony pravoúhlého trojúhelníku, jestliže víš, že jeho odvěsny mají délky 6 a 8. Tento trojúhelník přibližně načrtni.

Dále uvaž trojúhelník, který má přeponu délky 17 a jednu z odvěsen délky 15. Jaká je délka jeho zbývající odvěsny?

Všechny výsledky zdůvodni, ideálně uvedením výpočtů.