Zadání 5. série 40. ročníku

Termín odeslání: 7. dubna 2025

Pikomat Junior je pro řešitele 3. až 6. tříd, můžou se zúčastnit i mladší.

Jak řešit, odevzdávat a další důležité informace ohledně Pikomatu Junior nalezdene zde.

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf. Velice doporučujeme dětem dát toto vytištěné zadání. K dispozici je celý leták ve formátu pdf.

\def\tecky{\lower .2ex\hbox{ ..... }}

Úloha č. 1

Doplňte čísla, aby platily rovnosti.

V této úloze stačí výsledek.

Úloha č. 2

Organizátoři Pikomatu uspořádali 5 šachových turnajů. Na každém turnaji hraje každý s každým. Odpověz na následující otázky:

  • Na první turnaj dorazilo 7 hráčů. Kolik odehrál každý z nich partií?
  • Na první turnaj dorazilo 7 hráčů. Kolik partií se hrálo celkem?
  • Na třetím turnaji se hrálo celkem 28 partií. Kolik dorazilo hráčů?
  • Na čtvrtý turnaj dorazilo 16 hráčů, a pak přišli ještě další dva. Kolik tím přibylo partií?
  • Na pátý turnaj dorazilo n hráčů, kde n je nějaké neznámé kladné celé číslo. Vyjádři v závislosti na tomto číslu, kolik partií se hrálo.

V této úloze chceme i postup. Nestačí pouze odpověď.

Úloha č. 3

Hádáme trojici čísel v daném pořadí. Pokud uhodneme správné číslo na správné pozici, ukáže se nám černé kolečko. Pokud uhodneme správné číslo na špatné pozici, ukáže se nám šedé kolečko. Z pozic koleček ovšem nepoznáme, kterému ze tří čísel odpovídá. O jakou trojici čísel se jedná? (Zjistěte čísla)

Úloha byla upravena

Úloha č. 4

V následujícím textu a následné úloze doplňte chybějící slova.

V geometrii často řešíme úlohy, ve kterých máme narýsovat nějaký útvar podle určitých pravidel. Někdy stačí najít jedno možné řešení, jindy musíme najít všechna řešení, která splňují zadané podmínky.

(Různoběžné, rovnoběžné a splývající)

Nejprve si vysvětlíme pár pojmů. Podívej se na obrázek výše. Říkáme, že přímky jsou různoběžné, pokud se protínají v jednom bodě. Tento bod nazýváme průsečíkem. Pokud se přímky nikdy neprotnou a jdou ve stejném směru, říkáme, že jsou tyto přímky rovnoběžné. Pokud mají stejný směr a překrývají se, potom říkáme, že jsou splývající.

Při rýsování konstrukčních úloh můžeme používat různé metody. Jednou z nich je hledání všech bodů se zadanou vlastností, například všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od nějakého bodu nebo přímky.

Nyní si tuto metodu blíže popíšeme.

Na příštím obrázku můžeme vidět kružnici k(S; r) se středem v bodě S a poloměrem r. To jsou právě všechny body, které jsou od bodu S vzdálené právě \tecky

(Kružnice k se středem S a poloměrem r)

Právě všechny body, které jsou od přímky p vzdálené přesně o nenulovou délku d, jsou \tecky (0/1/2/3/4) přímky, které jsou \tecky (různoběžné/rovnoběžné/ splývající) s přímkou p. Pokud by délka d byla nulová, poté jsou řešením právě všechny body na přímce \tecky

(Vzdálenost d bodu A od přímky p)

Dvě přímky jsou na sebe kolmé, pokud spolu svírají pravý úhel: \tecky stupňů. Například na obrázku výše bychom mohli protáhnout čárkovanou úsečku a dostat tak kolmici na přímku p. Vzdálenost bodu A od přímky p je délka úsečky spojující bod A a přímku p, která je na přímku p kolmá. V našem obrázku je to tedy \tecky

(Konstrukce středu S_{ab} úsečky AB)

Mějme nyní body A a B znázorněné na obrázku výše. Představme si, že chceme sestrojit střed úsečky AB, který označíme S_{ab}. Nejprve zkonstruujme dvě kružnice se shodným poloměrem se středy v bodech A a B tak, aby se kružnice navzájem protínali. Poté průsečíky kružnic leží na kolmici ze středu dané úsečky. Tuto přímku nazýváme osou dané úsečky.

Uvaž nyní nějaké body A,B. Osa úsečky AB prochází jejím středem a je na ní \tecky (kolmá/rovnoběžná). A jsou to rovněž všechny body, které mají od bodu A vzdálenost \tecky (větší než / stejnou jako / menší než) od bodu B. Například na obrázku níže je osa úsečky AB znázorněna \tecky (plnou/přerušovanou) čárou.

(Osa strany úsečky AB, rovnoramenné trojúhelníky ABX a ABY)

Mějme rovnoramenný trojúhelník AXB. To je takový trojúhelník, který má dvě strany (ramena) stejně dlouhé. Zbývají stranu nazýváme základnou. Zároveň platí, že úhly u základny v rovnoramenném trojúhelníku jsou \tecky (shodné/různé). Všimněme si, že osa základny AB je \tecky (splývající/různoběžná) s kolmicí k přímce AB procházející bodem X. Této kolmici říkáme výška trojúhelníku ABX na stranu AB.

Dále si ukážeme společně na příkladu jeden z pravděpodobně nejpoužívanějších triků při konstrukčních úlohách. Pokud se

v úloze vyskytují pravé úhly, výšky nebo tečny, měli bychom hned zbystřit.

Příklad: Narýsujete trojúhelník ABC, pokud |AC| = 5 cm, |AB| = 6 cm a výška na stranu AB má délku 4 cm.

(Náčrtek)

Začneme tím, že si narýsujeme úsečku AC. Průsečík výšky se stranou AB si označme P. Potom bod P jistě leží na kružnici se středem v bodě C a poloměrem \tecky Zároveň víme, že úhel APC je pravý. Kdybychom uměli najít všechny body X takové, že úhel AXC je pravý, nalezli bychom už P.

Abychom tyto body mohli najít, dokážeme si následující pozorování. Totiž že to jsou právě ty body, které leží na kružnici se středem ve středu úsečky AC a poloměrem |AC|/2. Tato kružnice se nazývá Thaletova.

Dokažme to tedy obecně pro libovolnou úsečku AB. Označme si střed úsečky AB jako S. Potom, protože X leží na kružnici se středem S a poloměrem |AB|/2, platí |XS| = |AS| = |SB|. Trojúhelník ASX je tedy rovnoramenný. Proto |\angle SAX| = \tecky Podobně i trojúhelník \tecky je rovnoramenný, proto |\angle SBX| = \tecky.

(Důkaz pravého úhlu u bodu X nad úsečkou AB)

Úhel u vrcholu X v trojúhelníku AXB je tedy stejný jako součet úhlů u vrcholů A a B. Zároveň součet úhlů v trojúhelníku je 180 stupňů, a úhel AXB má tedy velikost \tecky

(Thaletova kružnice nad úsečkou AB)

Nyní si představme, že bod X na Thaletově kružnici nad úsečkou AB neleží. Pak může buď ležet uvnitř této kružnice, nebo mimo ni. Pokud leží uvnitř kružnice, je velikost úhlu AXB \tecky (menší/větší) než 90 stupňů. A pokud leží mimo kružnici, je velikost úhlu AXB \tecky (menší/větší) než 90 stupňů. Z Thaletovy kružnice tedy musí P ležet i na kružnici se středem v \tecky a poloměrem \tecky. Bod B pak musí ležet na přímce \tecky a zároveň |AB| = 6 cm.

(Konstrukce bodu P (řešení v dvou polorovinách))

(Konstrukce bodu B)

Chybí nám už jen zápis postupu. V zápisu konstrukce popíšeme, jak jsme postupovali. Vždy nejprve napíšeme, co konstruujeme, a za středník, jak daný objekt zkonstruujeme -- tedy napíšeme, jaké vlastnosti musí splňovat. U kružnice tedy napíšeme například \ell ; \ell (S, 2 cm). Což znamená, že jsme zkonstruovali kružnici \ell  se středem v bodě S a poloměrem 2 cm. Také se nám budou hodit následující značky:

  • \in -- leží na,
  • \cap -- a zároveň.

V našem příkladě tedy můžeme konstrukci zapsat následovně (můžeš popsat i slovně):

  • AC; \tecky
  • S_{AC}; \tecky
  • k; \tecky
  • l; \tecky
  • P; \tecky
  • B; B \in AP \cap \tecky
  • trojúhelník ABC

Úloha č. 5

Mějme kružnici k(S; 5 cm) a bod X takový, že platí |XS|=8 cm. Sestrojte tečny kružnice k procházející bodem X s dotyky v bodech A a B. Tečnou rozumíme přímku kolmou na spojnici středu kružnice a bod dotyku. Jako řešení vyžadujeme konstrukci a postup konstrukce. Doporučujeme si také udělat náčrtek.