Zadání 4. série 40. ročníku

Termín odeslání: 10. února 2025

Pikomat Junior je pro řešitele 3. až 6. tříd, můžou se zúčastnit i mladší.

Jak řešit, odevzdávat a další důležité informace ohledně Pikomatu Junior nalezdene zde.

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf. Velice doporučujeme dětem dát toto vytištěné zadání. K dispozici je celý leták ve formátu pdf.

Úloha č. 1

Lze rozkrájet meloun na čtyři kusy tak, aby po snězení vnitřku zbylo pět kusů slupky?

V této úloze chceme dobře popsanou konstrukci, případně zdůvodnění, proč takto meloun rozkrájet nejde.

Úloha č. 2

V následujících větách doplňte chybějící slova.

a) K vytvoření pěti čtverečků v řadě potřebujeme \tecky dřívek a vznikne tak \tecky obdélníků.

b) Obecně k vytvoření a čtverečků v řadě potřebujeme \tecky dřívek a vznikne tak \tecky obdélníků.

c) K vytvoření b řad o a čtverečcích potřebujeme \tecky dřívek a vznikne tak \tecky obdélníků.

d) K vytvoření a krychlích v řadě za sebou potřebujeme \tecky dřívek a vznikne tak \tecky kvádrů. (Krychle tvoříme v prostoru a jedna krychle se tedy skládá z 12 dřívek. Jedno dřívko ale může sdílet více krychlí.)

e) K vytvoření b řad, kde v každé řadě je a krychlí, potřebujeme \tecky dřívek a vznikne tak \tecky kvádrů.

f) K vytvoření c pater vždy o b řadách, kde v každé řadě je a krychlí, potřebujeme \tecky dřívek a vznikne tak \tecky kvádrů.

V této úloze nevyžadujeme postup. Nicméně při nesprávném výsledku můžete za správné myšlenky v postupu získat částečné body.

Úloha č. 3

Je dán čtverec jako na obrázku. Úsečky označené x mají stejnou délku a obsah čtyřúhelníku vlevo dole je 6. Urči obsah čtyřúhelníku označeného otazníkem.

V této úloze chceme řešení a stručný postup.

Úloha č. 4

V následujícím textu a následné úloze doplňte chybějící slova.

Všichni už jsme se asi někdy setkali s příklady podobnými těmto: 5\cdot 6=? nebo 127+13=?. Naším cílem je v nich dopočítat neznámou hodnotu „?“. I v tomto případě můžeme říct, že se jedná o rovnici. Rovnice má dvě strany, levou a pravou, spojené znaménkem „=“. A poté hledané číslo, v našem případě ?, kterému budeme říkat neznámá. Rovnice ale nemusí, a často není, ve tvaru, že bychom jen sečetli dvě čísla a znali výsledek. Existuje mnoho způsobů, jak může vypadat. A my chceme znát způsob, jak ji řešit obecně.

Rovnice naštěstí můžeme upravovat. Pokud chceme rovnici vyřešit, chceme se pomocí několika kroků, v nichž rovnici nějakým způsobem upravujeme, dostat do situace popsané v případě na začátku, tedy na jedné straně mít všechny neznámé a na druhé všechna čísla. Upravování samotné není nic složitého, člověk by měl mít jen na paměti, že v každém kroku musí být zachována původní rovnost, proto musí provést stejnou úpravu s oběma stranami. Všech\minusny operace tedy musíme provádět na obou dvou stranách zároveň. Pokud z jedné odečítáme, musíme v tu chvíli přesně to samé odečíst i z druhé strany. Z rovnice x+1 = 7 tedy odečtením 1 získáme x = \tecky. Situaci si můžeme představit jako váhy, kde na každé z misek je jedna strana rovnice. Váhy jsou v rovnováze (obě dvě strany se rovnají) a my našimi úpravami nesmíme tuto rovnováhu narušit. Dokud však rovnováha zůstane, můžeme dělat, co potřebujeme. Například můžeme na obě dvě misky přidat nebo odebrat libovolné množství stejných kostiček. Kromě přičítání a odčítání můžeme také násobit a dělit. Pokud například platí x=2, bude platit i x+x=2+2, tedy 2x=4. Kdybychom měli 3x+5=8 a obě dvě strany vynásobili třemi, dostali bychom \tecky x+15=\tecky. Podobným způsobem můžeme dělit. Vycházíme z toho, že pokud jsou obě dvě strany stejně velké, tak pokud je rozdělíme na stejný počet dílků, budou i jednotlivé dílky stejně velké. 4x=12 si tedy můžeme představit jako x+x+x+x=3+3+3+3 a tedy x=\tecky. U násobení a dělení si musíme dát pozor na to, abychom nenásobili/nedělili 0. Zatímco násobení by nás dovedlo jen k tomu, že 0=0, u dělení bychom se dostali do nedefinovatelných oblastí.

Ukažme si to nyní na příkladu. Za \mid píšeme operaci, kterou provádíme:

Zkuste nyní doplnit následující operace:

A naopak:

Zatím to musí vypadat, že všechny rovnice, které jsme počítali, spadly z nebe. Cílem rovnic je ale nějakým přehledným způsobem vyjádřit a zapsat informace, které známe, do vztahu, z něhož můžeme dopočítat to, co nám chybí.

Příklad: Tři kamarádi Adam, Bára a Cyril sbírají známky. Víme, že Cyril má dvakrát tolik známek než Adam a Adam má o tři známky více než Bára. Dohromady mají děti 29 známek. Kolik mají jednotlivé děti?

Řekněme, že chceme zjistit, kolik známek má Bára. Tento počet si označíme x a bude to naše neznámá.

Bára: x

Víme, že Adam má o tři známky více. Adamův počet známek si chceme vyjádřit s pomocí neznámé „x“:

Adam: x+\tecky

Cyril má dvakrát více známek než Adam, má tedy (opět vyjádřete pomocí „x“)

Cyril: \tecky x+ \tecky

Dohromady mají děti 29 známek. To znamená, že chceme sečíst počet známek, které má Bára, Adam a Cyril (všechno vyjádřené pomocí „x“).

Dostáváme tedy:

Nyní dořešte rovnici.

Vyřešte poté následující úlohu:

Aničce, Bětce a Cyrilovi je dohromady 31 let. Bětka je dvakrát starší než Cyril a Anička je o čtyři roky mladší než Bětka. Kolik je Aničce, Bětce a Cyrilovi let? \tecky

Příklad: Může se stát, že v příkladu budeme počítat s více než jednou neznámou. Postup řešení je ale podobný. Řekněme, že máme pytlík bonbónů, ve kterém jsou dvě příchutě -- jahodová a pomerančová. Kdyby bylo v pytlíku dvakrát více jahodových bonbónů, než je teď, obsahoval by dohromady 40 bonbónů. Kdyby naopak obsahoval o pět pomerančových bonbónů méně, byl by celkový počet bonbónů jen 20. Kolik je v pytlíků jahodových bonbónů? Kolik pomerančových?

Naší první neznámou bude počet jahodových bonbónů. Pro přehlednost si ho označme j. Druhou bude v tomto případě počet pomerančových bonbónů. Ten si označíme p.

V pytlíku je na začátku j+p bonbónů. První podmínka nám říká:

2j+p=40 (2j značí, že jsem do pytlíku přidali ještě jednou tolik jahodových bonbónů).

Další informace, co máme, nám říká:

j+p-5=20.

Tímto jsme získali takzvanou soustavu rovnic. Našim cílem je najít čísla j a p taková, aby platily obě dvě dílčí rovnice.

2j+p=40

j+p-5=20

Jak budeme postupovat? Zkusíme první rovnici vyřešit pro p, chceme tedy postupovat tak, jako bychom řešili rovnici s jednou neznámou. Naším cílem je dostat na jednu stranu p a na druhou všechno ostatní.

p = 40 - 2j

Takto jsme si vyjádřili neznámou p. Nyní ji můžeme v druhé rovnici nahradit tím, co nám nyní vyšlo na pravé straně.

j + p - 5 = j + (40 - 2j) - 5 = 20

j + 40 - 2j - 5 = 20 už je rovnice, kde máme pouze jednu neznámou a nijak se neliší od těch, které jsme předtím počítali. Můžeme ji vyřešit a dostáváme:

35 - j = 20 /+j

35 = 20 + j /-20

15 = j

Když známe hodnotu j, můžeme jí nahradit j například v první rovnici. Tím nám opět zbude rovnice pouze s jednou neznámou p, kterou už umíme vyřešit.

2j+p=40

2*15+p=40

30+p=40 /-30

p=10

Úloha č. 5

Zkuste samostatně vyřešit následující úlohu. Nejdříve určete, co jsou vaše dvě neznámé, a označte si je. Poté si zapište jednotlivé vztahy pomocí dvou rovnic.

Na farmě jsou chovány slepice a krávy. Dohromady je na farmě 8 zvířat, která mají dohromady 20 nohou. Kolik je na farmě slepic a kolik krav?

V této úloze chceme řešení i postup (který se může podobat řešení v předchozí úloze).