Zadání 3. série 40. ročníku

Termín odeslání: 13. ledna 2025

Pikomat Junior je pro řešitele 3. až 6. tříd, můžou se zúčastnit i mladší.

Jak řešit, odevzdávat a další důležité informace ohledně Pikomatu Junior nalezdene zde.

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf. Velice doporučujeme dětem dát toto vytištěné zadání. K dispozici je celý leták ve formátu pdf.

Úloha č. 1

V následující úloze spočítejte hodnoty všech útvarů a dopočítejte otazník tak, aby seděly vodorovné i svislé součty. Pokud nespočítáte všechny, odevzdejte jen část, kterou jste zvládli.

V této úloze chceme řešení a stručný postup.

Úloha č. 2

V této úloze je cílem nakreslit cestu tabulkou, přičemž smíme procházet jen stranami, máme určené oba konce a součty, kolik políček na daném sloupci či řádce projdeme. Podle ukázkového příkladu analogicky vyřešte zadanou úlohu.

Ukázkový příklad:

Zadaná úloha:

V této úloze nás zajímá pouze řešení.

Úloha č. 3

Máme neomezeně mnoho útvarů jako na obrázku (všechny jsou stejně velké a jsou to slepence osmi krychlí). Úkolem je s jejich pomocí vytvořit nekonečného hada, širokého 4 \times 4, který bude celý vyplněný a nebude z něho nic přečuhovat.

Zadaný útvar (máme jich neomezeně):

V této úloze chceme dobře popsanou konstrukci, případně zdůvodnění, proč takového hada nejde vytvořit.

Úloha č. 4

V následujícím textu doplňte chybějící slova.

Podívejme se na následující obrázek:

Tento obdélník má délky stran 3 \times 7.

Kdybychom chtěli zjistit počet čtverečků uvnitř tohoto obdélníku, řekli bychom, že počítáme jeho obsah. Ten spočítáme vynásobením počtu řádků počtem sloupců v obdélníku. Tento obdélník má tedy obsah \tecky čtverečků.

Když násobíme dvě čísla, můžeme zjistit, jaký obsah má obdélník, jehož délky stran odpovídají těmto dvěma číslům. Například když potřebujeme vynásobit 4 \cdot 6, můžeme si nakreslit obdélník o stranách \tecky a \tecky

Obecně můžeme říci, že pokud má obdélník strany délek x a y, jeho obsah je \tecky

Závorky nám říkají, které operace máme provést přednostně. Například když počítáme (2 + 3) \cdot (4 + 5), nejprve příslušná čísla sečteme a až pak je vynásobíme. (2 + 3) \cdot (4 + 5) = 5 \cdot 9 = 45

K tomuto výsledku dojdeme i jinak. Můžeme to spočítat jako

Podobný příklad si můžeme ukázat i na obdélníku.

Obsah velkého obdélníku si můžeme rozdělit na obsahy čtyř menších obdélníků. Pak spočítáme obsahy čtyř menších obdélníků zvlášť. Poté bychom tedy obsah většího obdélníku spočítali jako

Tento způsob využíváme, když hodnoty čísel v závorce neznáme. Např. (x + 2) \cdot 6 = \tecky

Zadání: Roznásobte (x – 4) \cdot (y + 5).

Řešení: Roznásobíme si jednotlivé členy jako výše, ale využijeme toho, že záporné číslo násobené kladným číslem je záporné číslo. Tedy (x – 4) \cdot (y + 5) = x \cdot y + (-4) \cdot y + x \cdot \tecky + (- 4) \cdot \tecky = \tecky - 4 \cdot y + \tecky - \tecky = \tecky

Pokud násobíme stejné číslo několikrát za sebou, můžeme to zapsat pomocí tzv. mocnin. Pokud například násobíme dvojku třikrát za sebou, zapisujeme to jako 2^{3} („dva na třetí“). To je pak 2 \cdot 2 \cdot 2 = \tecky

Takto můžeme zapsat i neznámé. Např. x \cdot x = x^{2}. Nebo

Využít toho lze i při roznásobování závorek:

Úloha č. 5

Roznásobte

V této úloze chceme řešení i postup (který se může podobat řešení v předchozí úloze).