Zadání 2. série 40. ročníku

Termín odeslání: 9. 12. 2024

Pikomat Junior je pro řešitele 3. až 6. tříd, můžou se zúčastnit i mladší.

Jak řešit, odevzdávat a další důležité informace ohledně Pikomatu Junior nalezdene zde.

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf. Velice doporučujeme dětem dát toto vytištěné zadání. K dispozici je celý leták ve formátu pdf.

Úloha č. 1

Spočítejte plochu šedé části čtverce podle obrázku.

V této úloze chceme i postup.

Úloha č. 2

Každý útvar rozděl na daný počet částí tak, aby všechny části byly shodné. Útvar je šedě vybarven. Stačí výsledek.

a) rozděl na tři stejné části

b) rozděl na čtyři stejné části

c) rozděl na čtyři stejné části

d) rozděl na pět stejných částí

e) rozděl na pět stejných částí

Úloha č. 3

Na obrázku vidíme krychli částečně vyplněnou šedou barvou (bílá je průhledná). Nakreslete krychli vyplněnou co největší šedou částí tak, aby ze stran vypadala jako na obrázku, a spočítejte objem její šedé části, pokud je délka strany původní krychle 1.

V této úloze chceme i postup.

Úloha č. 4

Tvým úkolem v této úloze bude doplnit chybějící text.

Často se nám v životě stává, že můžeme udělat jednu věc mnoha různými způsoby. Občas bychom rádi věděli, kolik takových způsobů je. Pro začátek si zkus představit, že máš dvě hromádky geometrických útvarů:

Nyní bychom rádi věděli, kolika způsoby si můžeme vybrat jeden černý a jeden bílý útvar. Jeden ze způsobů, jak se takového výsledku dobrat, je vypsat všechny možnosti:

Tedy celkově je možností 16. Můžeme si povšimnout, že v prvním sloupci je vždy bílý čtverec, v druhém bílý trojúhelník, ve třetím bílý kruh a ve čtvrtém bílá hvězda. Každý z těchto čtyř útvarů může být buďto s černým čtvercem, černým trojúhelníkem, černým kruhem, anebo s černou hvězdou. Tedy máme čtyři různé bílé útvary, přičemž s každým z nich mohou být čtyři černé. Dohromady je tedy možností 4\cdot4=16.

Nyní si představme, že naše hromádky vypadají následovně:

Pak by možných kombinací bylo \tecky{1.4cm}\cdot \tecky{1.4cm} = \tecky{2cm} Obdobně pokud by černých útvarů bylo 7 a bílých 11, pak by bylo možností celkově \tecky{2cm}

Zamysleme se nyní nad tím, co se stane, pokud bychom měli hromádky tři. Například si představme, že v první hromádce jsou 4 černé útvary, v druhé 5 bílých útvarů a ve třetí 6 červených útvarů. Kolika způsoby bychom si mohli vybrat jeden předmět od každé barvy v tomto případě? Situaci si můžeme představit takto: nejprve si vytáhneme černý útvar, což lze \tecky{1cm} způsoby. Poté si vytáhneme bílý útvar, což lze vždy \tecky{1cm} způsoby. Tedy kombinací černých a bílých útvarů je \tecky{1cm}\cdot \tecky{1cm} =20. Nakonec si vytáhneme červený útvar, což lze \tecky{1cm} způsoby. Tedy dohromady je možných způsobů 20\cdot \tecky{1cm} = \tecky{1.2cm}

Podobně kdyby byly bílé útvary 3, černé 4 a červených by bylo 7, pak bychom si trojici útvarů mohli vytáhnout

způsoby. Kdybychom k tomu přidali ještě modrou hromádku se 2 předměty, pak by bylo možností celkově \tecky{1.5cm} Podobný princip lze aplikovat i v jiných případech. Například uvažme situaci, kdy máš 2 kamarády a každému z nich chceš dát 1 sladkost -- buďto bonbon, nebo lízátko, anebo zmrzlinu. Přičemž oběma kamarádům můžeš klidně dát to samé. U každého z nich máš tedy 3 možnosti, jakou sladkost mu vybrat. Dohromady je tedy možností \tecky{1cm}\cdot \tecky{1.2cm} = \tecky{2cm} Nyní si představ, že máš takových kamarádů 5. Potom je způsobů, jak mezi ně cukrovinky rozdělit, dohromady \tecky{1cm}\cdot \tecky{1cm}\cdot\tecky{1cm}\cdot\tecky{1cm}\cdot\tecky{1cm}= \tecky{2cm} Kdyby ti kamarádi byli jen 2 a různých druhů cukrovinek jsi měl 7, pak bys jim je mohl rozdat \tecky{2cm} způsoby.

Vraťme se nyní k následující sadě útvarů:

Naším cílem bude nejprve určit, kolika způsoby lze naskládat čtverec a trojúhelník do následující tabulky tak, aby se v ní oba útvary vyskytovaly právě jednou.

Nejprve zkusíme opět všechny možnosti vypsat:

Z obrázku vidíme, že možností je \tecky{1.5cm} Zkusme se k tomuto výsledku nyní dobrat pomocí výpočtu. Nejprve si uvědomíme, že čtverec lze do prázdné tabulky vložit čtyřmi způsoby. Ve chvíli, kdy už čtverec v tabulce je, do ní můžeme vložit trojúhelník třemi způsoby. Tedy možností je dohromady 4\cdot3=12. V našem obrázku je čtverec umístěn v každém řádku jedním konkrétním způsobem, pro který pak v jednotlivých sloupcích vybíráme pozici trojúhelníka.

Představme si nyní, že bychom spolu se čtvercem a trojúhelníkem chtěli umístit i kruh a hvězdu. Postupovat můžeme podobně, jako v předchozím případě. Nejprve si vybereme pozici čtverce, na což máme 4 možnosti. Poté umístíme trojúhelník, na což máme 3 možnosti. Následně vybereme pozici pro kruh, což lze 2 způsoby. Nakonec umístíme hvězdu, což lze pouze 1 způsobem. Tedy dohromady je možností 4\cdot\tecky{1.2cm}\cdot\tecky{1.2cm}\cdot\tecky{1.2cm}=\tecky{2cm}

Podobně kdybychom umisťovali 5 útvarů do tabulky o 5 políčkách, vyšlo by nám způsobů

Pokud bychom umisťovali 3 různé útvary do tabulky o 7 políčkách, vyšlo by nám jich \tecky{1.2cm}\cdot\tecky{1.2cm}\cdot\tecky{1.2cm}=\tecky{2cm}

Abychom nemuseli psát dlouhé výrazy typu 6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1, zavedeme si pro ně vlastní symbol. Ten označíme vykřičníkem a budeme mu říkat „faktoriál“. Tedy například

označuje počet způsobů, jak nastrkat 10 různých předmětů do 10 krabiček. Podobně

a 

Faktoriály můžeme taky dělit, což umožňuje zkrácení zápisu některých výrazů. Například

Kdybychom chtěli vyjádřit počet způsobů, kterými nastrkat čtyři (různé) holuby do 16 jednolůžkových holubníků, pak je to možné

způsoby. U prvního holuba máme totiž 16 možností, u druhého 15, u třetího 14 a u čtvrtého 13.

Zkus nyní ty vyjádřit pomocí faktoriálů:

• Počet způsobů, kterými lze rozdat 12 různých bonbónů 12 kamarádům tak, že každý bonbón dáš právě jednomu kamarádovi: \tecky{2cm}
• Počet způsobů, kterými lze nalepit 13 různých samolepek na 19 různých hrníčků tak, že na každém hrníčku bude maximálně 1 samolepka: \tecky{2cm}
• Počet způsobů, kterými lze rozložit 7 různých šachových figurek na klasickou šachovnici o velikosti 8\times8: \tecky{2cm}

Při počítání faktoriálů si můžeme povšimnout, že jejich hodnota velmi prudce roste. Například 6!=720, 10!=3\,628\,800 a 20!=2\,432\,902\,008\,000\,000\,000. Tedy vyčíslovat jakékoli větší faktoriály většinou nedává smysl a v následující úloze to dělat nemusíš.

Úloha č. 5

Máme dvě klasické šachovnice o velikosti 8\times 8. Na první šachovnici chceme umístit jednu od každé z devíti různých šachových figurek, každou na samostatné políčko. Na druhou šachovnici chceme podobně umístit jednu věž, jednoho střelce a jednoho koně. Kolika způsoby to celé můžeme udělat? Výsledek stačí uvést v podobě součinu (není potřeba všechno vynásobit).

V této úloze chceme řešení i postup.