Zadání 1. série 40. ročníku Pikomatu Junior

Termín odeslání: 4. listopadu 2024

Pikomat Junior je pro řešitele 3. až 6. tříd, můžou se zúčastnit i mladší.

Jak řešit, odevzdávat a další důležité informace ohledně Pikomatu Junior nalezdene zde.

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf. Velice doporučujeme dětem dát toto vytištěné zadání. K dispozici je celý leták ve formátu pdf.


Úloha č. 1

Přesuňte dvě sirky tak, aby vzniklo alespoň šest čtverců.

V této úloze stačí výsledek.

Úloha č. 2

Máme tři hadice. Když napouštějí bazének samostatně, tak ho napustí první za 24 hodin, druhá také za 24 hodin a třetí za 12 hodin. Jak rychle bazének napustí, pokud ho budou napouštět najednou?

V této úloze chceme výsledek i postup.

Úloha č. 3

Nakreslete síť útvaru (podobně jako vidíte na ukázce), včetně správně umístěných a otočených písmen napsaných na stěnách. Stěny se v nakreslené síti nesmí překrývat.

V této úloze stačí výsledek.

Úloha č. 4

V následujícím textu a následné úloze doplňte chybějící slova.

Obsahem útvaru rozumíme velikost plochy, kterou útvar zabírá. Většinou jej značíme S. Měříme jej ve čtverečních jednotkách, tedy například v {\,\rm cm}^{2} (centimetrech čtverečních).

Obsah obdélníku a čtverce lze zjistit jednoduše. Pokud má obdélník rozměry a \times b, tak zabírá plochu a \cdot b, a má tedy obsah S = a \cdot b. Například obdélník se stranami 3 {\,\rm cm} a 4 {\,\rm cm} má obsah ..........

S trojúhelníkem je to trochu složitější. Okolo trojúhelníku nakreslíme obdélník tak, aby jedna ze stran trojúhelníku byla stranou obdélníku a zbývající vrchol ležel na protější straně. Náš trojúhelník si vybarvíme. Trojúhelník si výškou rozdělíme na dva pravoúhlé trojúhelníky. Tím jsme zároveň rozdělili obdélník na ...... obdélníky. V každém obdélníku zabírá vybarvená část ............ (menší/stejný/větší) obsah jako nevybarvená. Obsah našeho trojúhelníku je tedy ............ (poloviční/stejný/dvojnásobný) oproti obsahu obdélníku, jehož obsah umíme spočítat jako ............ Obsah trojúhelníku je tedy obecně roven ............

(Výška trojúhelníku v je úsečka procházející jedním vrcholem kolmá na protější stranu.)

Teď si pomocí nově nabytých znalostí vyřešíme úlohu.

Zadání: Mějme trojúhelník RAK s obsahem 9 {\,\rm cm}^{2}. Ve třetině strany AK blíže k vrcholu K leží bod X. Zároveň na úsečce AX leží bod H, tak, že obsahy trojúhelníku RAH a RHX jsou stejné. Urči obsah trojúhelníku RHX.

Řešení: Všimněme si, že trojúhelníky RAH a RHX mají .......... (stejnou/jinou) výšku z bodu R, protože je to vždy kolmice z R na přímku AK. Obsah trojúhelníku RAH tedy můžeme napsat jako .............. a obsah trojúhelníku RHX jako .............. Zároveň víme, že tyto obsahy jsou stejné, proto i úsečky ...... a ...... jsou stejně dlouhé. Bod H tedy leží ................ (mimo / uprostřed / ve třetině) AX. A tedy bod H je ................ (mimo / uprostřed / ve třetině) AK blíže bodu ......

Všechny trojúhelníky RAH, RHX, RXK mají ............... (stejnou/
různou) výšku z vrcholu ...... a také jejich strany AH, HX a XK jsou .......... (stejně/různě) dlouhé. Proto mají všechny tyto trojúhelníky ........... (stejný/různý) obsah. Obsah trojúhelníku RHX je tedy ..........

Úloha č. 5

Mějme trojúhelník PES s obsahem 24 {\,\rm cm}^{2}. V jedné třetině strany ES blíže bodu S leží bod O. Podobně ve čtvrtině strany ES blíže k bodu E leží bod T. Urči obsah trojúhelníku PTO.

V této úloze chceme řešení i postup (který se může podobat řešení v předchozí úloze).