Nástiny řešení 3. série

Nejedná se o kompletní řešení, takže plný počet bodů za odevzdání něčeho takového nelze očekávat. Aspoň si ale můžeme ověřit výsledek nebo si zapřemýšlet nad alternativním postupem.

Úloha 1.

Označme si hledanou hodnotu jako a, dostáváme pak soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:
\sqrt{100-x^2} + \sqrt{64-x^2} = 12
\sqrt{100-x^2} - \sqrt{64-x^2} = a
Odpovídající strany těchto rovnic vynásobíme, čímž dostáváme (s použitím vzorečku (a-b)\cdot(a+b) = a^2-b^2) vztah 100 - 64 = 36 = 12 \cdot a. Výsledkem je tedy a=3.

Úloha 2.

Síť si nakreslíme na papír, vystřihneme a poskládáme. Na místě otazníku nám vyjde stěna 1.

Úloha 3.

Označme k kružnici vepsanou, S střed kružnice k, r poloměr k, dále A_1, A_2, \ldots A_n vrcholy daného n-úhelníku.

Rozdělíme si n-úhelník na trojúhelníky A_1A_2S, A_2A_3S, \ldots A_{n-1}A_nS, A_nA_1S. Obsah n-úhelníku můžeme spočítat jako součet obsahů všech těchto trojúhelníků. Každý trojúhelník má výšku r = 3\ {\rm cm}, protože podstava A_iA_{i+1} je tečnou kružnice k, tedy vzdálenost středu S od tečny A_iA_{i+1} je rovna poloměru.

Ze zadání víme 20\ {\rm cm} = |A_1A_2| + |A_2A_3| + \dots + |A_{n-1}A_n| + |A_nA_1|. Obsah S n-úhelníka pak spočítáme jako

S = |A_1A_2|\cdot r / 2 + |A_2A_3|\cdot r / 2 + \dots + |A_{n-1}A_n|\cdot r / 2 + |A_nA_1|\cdot r / 2
S = (|A_1A_2| + |A_2A_3| + \dots + |A_{n-1}A_n| + |A_nA_1|)\cdot r / 2
S = 20 \cdot 3 / 2
S = 30\ {\rm cm}^{2}

Úloha 4.

Označme si hledané číslo A jako \overline{abcdcba}, jelikož je podle zadání palindromem. Díky zadaným podmínkám dělitelnosti dostáváme tyto vztahy:

5|\overline{abcdcba} \Longrightarrow 5|a \Longrightarrow a=0 nebo a=5. Jelikož A je sedmimístné číslo, číslice a musí být nenulová, tedy a=5. A je tedy ve tvaru \overline{5bcdcb5}.

3|\overline{abcdcba}\Longrightarrow 3|(a+b+c+d+c+b+a) \Longrightarrow 3|(2 \cdot (b+c) + d + 10)

11|\overline{abcdcba}\Longrightarrow 11|(a-b+c-d+c-b+a) \Longrightarrow 11|(2 \cdot (c-b) - d + 10)

Jelikož hledáme největší takové číslo A, dejme b=9. Pak dostaneme: 3|(2c + d + 28) a 11|(2c - d - 8).

Budeme používat standardní notaci a \equiv b \bmod c, kde a a b dávají stejný zbytek po dělení číslem c. Např. 5 \equiv 8 \bmod 3.

  • Pro c=9 z druhého vztahu dostáváme d \equiv 10 \bmod 11 (protože 11|(10-d)), tomu ale žádná číslice nevyhovuje.
  • Pro c=8 z druhého vztahu dostáváme d \equiv 8 \bmod 11, tedy d=8, ale z prvního vztahu máme d \equiv 1 \bmod 3, což nemůže platit zároveň.
  • Pro c=7 z druhého vztahu dostáváme d \equiv 6 \bmod 11, tedy d=6, a z prvního vztahu máme d \equiv 0 \bmod 3, tedy toto řešení vyhovuje! Hledané číslo je 5976795.

Úloha 5.

Počet možností, jak si oblečení obléct, spočítáme jako (počet způsobů, jak si vybrat 6 ponožek) \cdot (počet způsobů, jak si vybrat klobouk). Jelikož máme na výběr 15 ponožek a 4 klobouky, k výpočtu nám pomohou kombinační čísla, kde z 15 prvků vybereme 6 a ze 4 prvků vybereme 1. Výsledkem je tedy {15 \choose 6} \cdot {4 \choose 1 } = 20020.

Úloha 6.

Zlaté kuličce přiřadíme hodnotu 3, stříbrné 2, dřevěné 1. Čísla volíme tak, abychom v rámci všech operací zachovali nějakou důležitou vlastnost. V tomto případě to bude změna celkového součtu, která ve všech operacích bude dělitelná třemi.

  • První operace vymění zlatou (ta je 3) za stříbrnou a dřevěnou (to je 2 + 1). Takže celková hodnota v miskách se nezmění.
  • Druhá operace vymění stříbrnou (2) za dvě dřevěné (1+1). Celková hodnota v miskách se zase nezmění.
  • Třetí operace vymění šest dřevěných (celkem 6) za zlatou (3). Tímto se celková hodnota v červené misce sníží o 3.

Na začátku je celková hodnota v červené misce rovna 20\cdot 3+20\cdot 2+20\cdot 1 = 120. A na konci to má být 10\cdot 3+11\cdot 2+10\cdot 1 = 62. Každá operace mění součet o nějaké číslo dělitelné třemi. Protože ale 120-62=58 není dělitelné třemi, nemůžeme se do cílového stavu dostat.

Úloha 7.

Začněme obarvovat jednotlivé obdélníčky dosud prázdné tabulky. Do prostředního pole v dolním řádku můžeme na začátku dát kteroukoliv ze 4 barev. Do levého dolního rohu pak můžeme dát už jen 3 barvy, jelikož nemůžeme použít barvu, kterou jsme obarvili pole uprostřed řádku. Do levého horního rohu pak můžeme dát už jen 2 barvy, jelikož sousedí se dvěma poli různých barev. Do pravého horního rohu můžeme umístit také pouze 2 barvy a do pravého dolního rohu stejně tak, ze stejného důvodu. Celkem máme tedy 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 96 možností, jak tabulku vybarvit.