Nástiny řešení 1. série

Nejedná se o kompletní vzorová řešení úloh, jen ukážou směr, jakým bylo možno se vydat. Za takovéto postupy by plný počet bodů možná nebyl.

Úloha 1.

Počet bílých lodí označíme jako x. Počet modrých lodí je x+2, pak v proměné x sestavíme kvadratickou rovnici, kde se součet ryb, co chytily bílé a modré lodě dohromady, rovná 400 bez šesti ryb, které nechytili. Vyjde nám x^2 + x^2 + 4x + 4 = 394, tedy x = 13 a celkově máme 28 lodí.

Úloha 2.

Víme, že všechny možné výsledky losu jsou stejně pravděpodobné, takže pravděpodobnost, že budou spolu, je počet možností, že mají stejnou kartu, děleno počtem všech možností.

Počet všech možností je {5 \choose 2} \cdot {3 \choose 2} = 30 (z pěti vybereme dvě modré a ze zbývajících tří vybereme dvě zelené). A počet možností, kdy budou spolu, je {3 \choose 2} = 3, pokud mají modré, a stejně tolik, pokud mají zelené. Celkově tedy 6/30 = 20\ \% . Ptáme se ale, s jakou pravděpodobností spolu nebudou. To je 100\ \% - 20\ \% = 80\ \%.

Úloha 3.

Nakreslíme si start a cíl od sebe třeba 10\ {\rm cm} (10\ {\rm m} jako 1\ {\rm cm}). Po prvním úseku musel být 3\ {\rm cm} od startu, proto nakreslíme kružnici s poloměrem 3\ {\rm cm} se středem ve startu -- mimo ni nemohl být. Stejně tak kružnici z cíle s poloměrem 5\ {\rm cm} (mimo ni před poslední etapou nemohl být).

A teď uděláme kružnici se středem ve startu s poloměrem 7\ {\rm cm} -- tam nejdále mohl dojet po prvních dvou etapách, ale mohl dojet méně. Takže po druhé etapě mohl být na místech, která jsou uvnitř kružnice s poloměrem 7 a středem ve startu a na kružnici s poloměrem 5 se středem v cíli. Analogicky, pokud uděláme z cíle kružnici s poloměrem 9, tak po první etapě mohl být na té části kružnice s poloměrem 3 a začátkem ve startu, která je uvnitř kružnice s poloměrem 9 a středem v cíli.

Úloha 4.

Tohle je úloha na Pythagorovu větu a zároveň soustavu dvou kvadratických rovnic o dvou neznámých. Můžeme si představit, že špejle dole začínají ve stejném bodě. I kdyby to tak nebylo, vzdálenosti středů a konců od podstavy zůstávají stejné, takže to výpočty neovlivní. Když středy mají od sebe 1\ {\rm cm}, tak konce mají od sebe 2\ {\rm cm}. A když si to nakreslíme, vyjdou nám dvě rovnice x^2 + y^2 = 72 a x^2 + (y+2)^2 = 100. Roznásobíme závorky, rovnice od sebe odečteme a vyjde nám, že y = 6 a potom x = 6. Sklenka má tedy průměr 6\ {\rm cm}.

V původním zadání by vyšel průměr skleničky 0\ {\rm cm}, postup mohl být stejný jako výše uvedený.

Úloha 5.

Vyhrávající strategii má začínající hráč, může si totiž zajistit, že po jeho tahu budou kameny vůči sobě vždy ve stejné pozici modrý kámen - volné políčko - červený kámen. Tím v posledním tahu vynutí, aby druhý hráč položil červený kámen na sedmé pole (nemá jinou možnost tahu).

Úloha 6

Protože naše čísla neobsahují nulu, každou ze čtyř cifer těchto čísel je jedno z devíti číslic 1 až 9. Pro první cifru tedy máme 9 možností. Jakmile tuto číslici určíme, znovu ji nebudeme moci použít. Pro druhou cifru máme tedy již jen 8 možností. První dvě cifry tedy můžeme vybrat 9 \cdot 8 způsoby. Postup opakujeme a vyjde nám 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024.

Úloha 7

Postup "ozkoušením": Vypíšeme si násobky čísla 9 a zkoumáme, mezi kterými těmito po sobě jdoucími násobky najdeme násobek čísla 11 a mezi kterými ne. Hledáme (od jedničky) první násobek čísla 11 takový, že mezi ním a od něj devátým násobkem čísla 11 je právě 9 násobků čísla 9.

Postup s určením délky posloupnosti: Z počtu násobků devíti je čísel v posloupnosti 73 (začínáme i končíme násobkem devíti) až 89 (začínáme hned po násobku devíti a končíme těsně před násobkem devíti), z počtu násobků jedenácti je čísel v posloupnosti 89 až 109. Začátek posloupnosti tedy musí být násobkem jedenácti, kde číslo o jedna menší je násobkem devíti. Takové nejmenší přirozené číslo je 55 a posloupnost je tedy od 55 do 143.