Úloha č. 1

Vyplňte tabulku na obrázku útvary, které jsou vpravo od ní. Útvary v tabulce se nesmí překrývat, ani vystupovat z tabulky. Každý útvar použijte právě jednou.

Řešení:

První do obrázku umístíme obrazec C, který lze umístit pouze na jedno místo tak, abychom tím nevytvořili nevyplnitelný prostor.

Dále jsou problémovou částí rohy tabulky sousedící s tímto obrazcem. Po opětovném ozkoušení zjistíme, že tyto rohy lze vyplnit pouze obrazci A a E, navíc obrazec E musí být na našem obrázku v dolním pravém rohu tabulky.

Zbývají pouze obrazce B a D, kterými lze zbývající místo v tabulce vyplnit pouze jedním způsobem:

Takto jsme vyplnili tabulku obrazci a navíc jsme dokázali, že je toto řešení jediné možné.

Komentář: Většina řešitelů měla správný výsledek, ale málokdo zapsal postup řešení obsáhlejší než "Zkoušel jsem obrazce různě skládat a nějak to vyšlo.". Tentokrát jsem za to nestrhávala body, ale příště už je vážně potřeba postup k výsledku napsat.

Úloha č. 2

Kolika způsoby se lze přechodem přes pět můstků dostat k poháru? (mezi políčky se dá přecházet pouze po můstcích).

Řešení: Abychom se dostali k poháru, musíme se dostat o dvě políčka nahoru a o tři políčka doprava. To je pět kroků, které musíme udělat. V každém našem kroku se tedy musíme dostat buď o jedno políčko nahoru nebo o jedno políčko doprava. Jinak by naše cesta byla delší než pět kroků.

Zjistili jsme, že musíme použít dva kroky nahoru a tři kroky doprava. Teď jde jen o to, v jakém pořadí. Když začneme krokem nahoru, máme čtyři různé způsoby: ↑↑→→→, ↑→↑→→, ↑→→↑→, ↑→→→↑.

Pokud začneme krokem doprava, možností je více. Pokud půjdeme doprava a pak hned nahoru, způsoby jsou tři: →↑↑→→, →↑→↑→, →↑→→↑.

Pokud začneme dvěma kroky doprava, budou to další dva způsoby: →→↑↑→, →→↑→↑.

A pokud začneme třemi kroky doprava, dostaneme se k poháru jedním způsobem: →→→↑↑.

Způsobů je dohromady 4 + 3 + 2 + 1 = 10. K poháru se tedy přechodem přes pět můstků dostaneme deseti způsoby.

Komentář: Úlohu šlo řešit několika způsoby. Většina řešitelů zvolila buď nějakou variaci na způsob, který uvádíme my, nebo nakreslila a následně spočítala všechny cesty, nebo si do jednotlivých políček vepsala počet způsobů, kterými se na toto políčko lze dostat, a pak sčítala cesty ze sousedních políček. Našlo se i pár velice originálních řešení. Řešitelé byli u této úlohy rozhodně velmi kreativní a ke správnému výsledku se jich dopočítala naprostá většina (někteří třeba na jeden způsob zapomněli).

Úloha č. 3

Nakreslete síť útvaru na spodním obrázku. Na vrchním obrázku je pro lepší představu ukázaná síť krychle.

Řešení: Na obrázku máme útvar složený ze čtverců. Rozdělíme si postup na několik kroků a v každém kroku přidáme několik čtverců. Přidávané čtverce budou šedě.

Na obrázku vidíme, že v podstavě máme tři čtverce. Tyto čtver\minusce zakreslíme.

Z pravé části vybereme čtyři čtverce a zakreslíme je.

Potřebujeme přidat zadní stěny těchto krychlí. Protože už má\minusme horní stěnu přidanou, stačí nám dokreslit dva čtverce.

V přední stěně nám zbývá zakreslit dva čtverce a máme hotové pravé dvě krychle.

Dále se zaměříme na tři krychle nad sebou. Pravou stěnu horní krychle už máme zakreslenou z druhého kroku. Začneme v zadní části a zakreslíme celkem pět čtverců. Poslední zakreslený čtverec bude přední stěna nejvyšší krychle.

K dokončení těchto tří krychlí nám zbývají tři čtverce jako levé stěny.

V předposledním kroku zakreslíme levou, horní a pravou stěnu dvou krychlí vpředu.

Nakonec zakreslíme dva čtverce jako přední stěny krychlí.

Na závěr spočítáme, kolik stěn máme na obrázku v zadání a kolik jsme jich nakreslili my.

Při pohledu shora máme 3 čtverce, zdola také 3 čtverce. Pohled zleva i zprava nám dává po pěti čtvercích. Pohled zepředu a zezadu také po pěti čtvercích. Součet 3 + 3 + 5 + 5 + 5 + 5 = 26. V zadání máme 26 čtverců.

Nakonec spočítáme čtverce v řešení, těch je také 26. Vidíme, že jsme v našem řešení na žádnou stěnu nezapomněli.

Opravovali: 1. Eliška Vimmerová, 2. Sára Šamánková, 3. Lucie Votrubová.