Úloha č. 1

Murhakovy oči měly tvar lichoběžníku. Označme jeho vrcholy A, B, C, D, aby AB\parallel CD a střed strany AD označme M. V čarodějových očích byly úsečky BM a CM. Jaký je poměr obsahů trojúhelníku BCM a celého lichoběžníku?

Řešení: Nejdříve si představíme extrémní případ lichoběžníku, ve kterém by buď body D, C, nebo body A, B, měly mezi sebou zanedbatelnou vzdálenost (můžeme si představit, že by splynuly v jeden jediný bod). To by mělo za následek nulový obsah jednoho z trojúhelníků. V prvním případě by neexistoval \triangle MCD, ve druhém případě by neexistoval \triangle ABM. Útvar, který by nám zbyl, by měl podobu trojúhelníku rozpůleného těžnicí. O těžnici víme, že dělí trojúhelník na takové dva menší trojúhelníky, jejichž obsah je poloviční obsah toho původního. (Můžeme si to ověřit: Ze zadání víme, že úsečka AM, jakožto ⁠strana prvního trojúhelníku, má stejnou velikost jako úsečka MD, jakožto⁠ strana druhého trojúhelníku. Výšky na obě tyto strany mají stejnou velikost. Když vypočítáme obsah těchto dvou trojúhelníků: strana AM vynásobeno výškou na tuto stranu a to celé vyděleno dvěma, vychází stejný obsah, jako strana MD vynásobeno výškou na tuto stranu a to celé vyděleno dvěma.)

Poměr obsahu \triangle BCM a celého objektu by byl v této představě 1:2.

Teď to musíme dokázat více obecně a to tak, že ukážeme, že \triangle BCM má stejný obsah jako zbylé dva menší trojúhelníky.

Použijeme střední příčku lichoběžníku, ta je rovnoběžná se základnami lichoběžníku (úsečky AB, CD). Obě ramena lichoběžníku (úsečky AD, BC) dělí v půlce, tedy prochází bodem M. Střed strany BC, kterým prochází také, si označíme X. Velikost střední příčky má velikost aritmetického průměru velikostí základen.

\triangle MCD přiložíme stranou DM ke straně AM trojúhelníku BMA. Tento složený trojúhelník bude mít strany délek: |AB| + |DC|, |BM| a |CM|, tedy naprosto stejné velikosti jako složený trojúhelník, který vznikne přiložením \triangle XCM stranou CX ke straně BX trojúhelníku BXM. Ten má velikosti stran: |AB| + |DC|/2 + |AB| + |DC|/2 = |AB| + |DC|, |BM| a |CM|.

Tím jsme obecně dokázali, že poměr \triangle BCM a lichoběžníku je 1:2.

Komentář: Úloha byla jedna z lehčích, ke správnému výsledku šlo dojít několika různými způsoby. Mnoho řešitelů porovnalo obsah celého lichoběžníku a součet obsahů \triangle ABM a \triangle MCD, ten jim vyšel 1:2 a z toho vyplynulo, že hledaný poměr obsahů celého lichoběžníku a \triangle BCM je také 1:2, což je správný výsledek.

Úloha č. 2

Na kružnici k se středem S postupně leží body A, B, C, D. Velikost úhlu ASB je 132 stupňů a velikost úhlu BSC je 78 stupňů. Jaká je velikost úhlu ADC?

Řešení: Z věty o obvodovém a středovém úhlu víme, že středový úhel je dvakrát větší než obvodový k tomu samému oblouku.

Středový úhel |\angle ASC|=|\angle ASB|+|\angle BSC|=132\deg+78\deg=210\deg, k němu obvodový úhel je \angle ADC a ten má tedy poloviční velikost, takže |\angle ADC|=210\deg/2=105\deg.

Komentář: O obvodových a středových úhlech si můžete přečíst více v průvodním povídání. :)

Úloha č. 3

„A dokonce vím, že před pěti lety ti bylo devětkrát míň, než co tehdy mně. A naopak za pět let tvůj věk bude 20,\% mého. Tak co, víš, kolik mi je?“

Řešení: Věk Terky si označíme t a věk černokněžníka c. Nyní si můžeme sestavit dvě rovnice. První z nich bude reprezentovat situaci před pěti lety a druhá za pět let. Od obou věků tedy odečteme, respektive přičteme, 5 let. Víme, že před pěti lety bylo černokněžníkovi devětkrát více než Terce. Za pět let bude Terce 20,\% toho, co černokněžníkovi, ten bude tedy starší pětkrát .

Nyní soustavu rovnic vyřešíme. Závorky si můžeme roznásobit a rovnice od sebe odečteme

A rovnici vyřešíme

Nyní víme, že Terce je 15 let. Abychom získali věk černokněžníka, dosadíme věk Terky do jedné z rovnic, tedy

Černokněžníkovi je 95 let.

Komentář:

Úloha č. 4

„Kdyby dráče přilnulo ke mně místo k tobě, byl by celý jeho výcvik o spoustu dní kratší,“ řekl Murhak. Po chvíli dodal, o kolik přesně dní by to bylo. Jindra si hned pomyslel, že třetí mocnina tohoto počtu dní je dělitelná čísly 10, 25, 32, 49 a 170. Jaký počet dní menší než 1,000 to splňuje?

Řešení: Pro řešení budeme využívat prvočíselného rozkladu. Pokud je číslo a násobek čísla b, tak v prvočíselném rozkladu čísla a musí být všechna prvočísla z rozkladu b v alespoň stejně velké mocnině. Dále platí, že pokud mezi sebou vynásobíme dvě čísla, tak prvočíselný rozklad výsledku získáme vynásobením jejich prvočíselných rozkladů. Když tedy máme nějaké x^{3}, kde x je celočíselné, tak musí být všechny mocniny v prvočíselném rozkladu x^{3} násobkem 3. A v prvočíselném rozkladu čísla x je mocnina v rozkladu mocniny dělená 3.

Čísla rozložíme na prvočísla: 10=2\cdot 5, 25=5^{2}, 32=2^{5}, 49=7^{2} a 170=2\cdot17. Vezmeme největší mocninu ze všech prvočísel v rozkladech. Dostaneme \meterbox 2^{5}\cdot 5^{2}\cdot 7^{2}\cdot 17. Protože chceme, aby exponenty byly násobky tří, tak třetí mocninu musí dělit 2^{6}\cdot 5^{3}\cdot 7^{3}\cdot 17^{3}. Počet dní tedy musí být dělitelný 2^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 17=2,380, což je ale více než tisíc. A jakýkoliv násobek bude jen větší než toto číslo. Žádný počet dní menší než 1,000 tedy nesplňuje zadání.

Komentář:

Úloha č. 5

Terka si po chvíli uvědomila, že Murhak postupně říká všechna různá slova (nebo spíš posloupnosti hlásek), která vzniknou z MUMURKAHO vyškrtáním několika písmen (klidně žádného nebo jen jednoho). Kolik takových slov je?

Řešení: Tuto kombinatorickou úlohu můžeme řešit vícero možnými způsoby, ve vzorovém řešení zvolím způsob, který osobně vnímám jako nejjednodušší. O každém písmenu, které se v zadaném slově nachází, můžeme rozhodnout, zda ve výsledné kombinaci bude, nebo ne. Máme tedy v případě každého písmena dvě možnosti, buď jej vyškrtnout nebo ne. Pokud takto rozhodneme o všech 9 zadaných písmenech, dostaneme celkem 2^{9} = 512 možností skupin písmen, které mohou vzniknout.

Výsledný počet ovšem bude o něco nižší. Dvojice písmem MU na začátku slova se totiž opakuje, může se tedy stát, že při vyškrtnutí různých dvou či tří písmen z této čtveřice získáme dvě totožné skupiny písmen. Například kombinace M--URKAHO a MU--RKAHO obsahují na totožných pozicích tatáž písmena, ovšem do původního výčtu jsme je zahrnuli jako odlišné. Uděláme tedy výčet všech možných kombinací, které nám vzniknou při vyškrtání 0 až 4 písmen z prvních čtyř. Dostaneme těchto 16 kombinací: MUMU, MUM-, MU-U, M-MU, -UMU, MU--, M-M-, M--U, -UM-, -U-U, --MU, M---, -U--, --M-, ---U, ----. Zde můžeme vidět, že se v tomto výčtu třikrát opakuje kombinace písmen MU a po dvou písmena M a U. Tyto možnosti budeme muset započítat vždy jen jednou. Všechny případy, které zahrnují některou ze čtyř kombinací vyskytujících se navíc, tedy od původních 512 odečteme. Těchto kombinací bude v každém z případů 2^{5} (u prvních čtyř písmen jsme již rozhodli, zda je vyškrtneme nebo ne, zbývá nám tedy rozhodnout jen o posledních pěti).

Po této eliminaci duplicitních případů tedy získáváme celkem 2^{9}-4\cdot2^{5}=512-128=384 možných kombinací. V tuto chvíli ovšem ještě nemáme kompletní výsledek úlohy. Zadání totiž hovoří o tom, že Murhak postupně říká všechna různá slova, respektive posloupnosti hlásek. V naší množině možností se ovšem nyní nachází i případ, kdy všechna písmena vyškrtneme a na vyřčení nám tedy žádná hláska nezbude. Tuto možnost tedy odečteme a dostáváme se na konečný stav 383 možností.

Komentář: Přijít na to, že budeme vycházet z 512 možností, nebylo pro drtivou většinu řešitelů problém. Ne všichni si ovšem uvědomili, že bude nutné ještě nějaké možnosti odečíst. Za toto částečné řešení jsem obvykle uděloval 2 body. Sporný byl také případ, že budou vyškrtnuta všechna písmena. Někteří toto prázdné slovo také považovali za slovo, což je z matematického hlediska správně, v praxi tomu tak ale úplně není. Ať už ale tato možnost byla či nebyla vynechána, body jsem v žádném případě nestrhával.

Úloha č. 6

„Útvar je mnohoúhelník s vrcholy v bodech čtvercové mřížky a stranami v hranách mřížky. Navíc musí mít na hranici jen 18 bodů čtvercové mřížky a úplně uvnitř může být jen sedm bodů,“ vysvětlila Terka. Jaký největší obsah může útvar mít?

Řešení: U této úlohy sice můžeme otestováním několika možností dojít ke správné odpovědi, ovšem sestavení úplného důkazu je komplikovanější, než se může na první pohled zdát. Představme si, že začínáme ve čtvercové síti s útvarem o rozměrech 1\times1 čtvereček, jako na obrázku níže. Definujme si nyní tři proměnné o, s a b, které označují obvod, obsah a počet bodů uvnitř útvaru. Můžeme zpozorovat, že o = 4, s = 1 a b = 0. Povšimněme si, že obvod útvaru se rovná počtu bodů na jeho hranici -- jelikož náš hledaný útvar je mnohoúhelník, každý bod na hranici sousedí právě se dvěma hranami o délce 1 a každá hrana s právě dvěma body. Z toho vyplývá, že počet hran a bodů je stejný.

Nyní si definujme dva algoritmy, pomocí kterých budeme útvar rozšiřovat, dokud z něj nevytvoříme náš hledaný útvar s maximálním obsahem, 7 body uvnitř a 18 body na obvodu (což je to samé, jako útvar s obvodem 18). První algoritmus bude fungovat tak, že útvar rozšíříme o čtvereček 1\times1 tím způsobem, že s původním útvarem bude sousedit právě jednou stranou. Můžeme se přesvědčit, že při každé takovéto operaci se obvod útvaru o zvětší o 2, obsah s se zvětší o 1 a počet bodů uvnitř b zůstane stejný (obr. vz562). Druhý algoritmus funguje tak, že čtvereček 1\times1 k útvaru připojíme tím způsobem, že bude sousedit dvěma hranami s právě dvěma existujícími čtverečky. Při této operaci se obvod o nezvětší, obsah s se vždy zvětší o 1 a počet bodů b také o 1 (obr. vz563).

Pokud budeme tyto dva algoritmy popsané výše aplikovat v různém pořadí na původní čtvereček 1\times1, můžeme z něj vytvořit jakýkoliv mnohoúhelník. Představme si tedy, že jsme vytvořili náhodný útvar tím, že jsme první algoritmus aplikovali celkem x krát a druhý algoritmus celkem y krát. Pro obvod, obsah a počet bodů výsledného mnohoúhelníku můžeme sestavit následující rovnice. Absolutní člen v rovnicích (člen bez x nebo y) označuje obvod a obsah původního čtverečku 1\times1.

Nyní do této soustavy rovnic dosaďme hodnoty pro náš neznámý útvar s obvodem o = 18 a počtem bodů b = 7:

Z první a třetí rovnice jednoduše spočítáme, že x = 7 a teké y = 7. Obsah tohoto útvaru je z druhé rovnice tedy:

Jak vidíme, s pravidly, které máme zadané, obsah, obvod a počet bodů nejsou na sobě vzájemně nezávislé veličiny, ale z každých dvou vždy můžeme spočítat třetí. Obsah útvaru ze zadání je tedy 15.

To ale ještě není všechno -- aby byl důkaz úplný, je potřeba ukázat, že nějaký takový útvar skutečně lze sestavit. Nemůžeme jen slepě věřit rovnicím, protože z nich by nám mohlo teoreticky vyjít, že pro sestavení našeho útvaru je například nutné aplikovat první algoritmus x celkem nulakrát a druhý algoritmus y desetkrát. To samozřejmě nejde, protože pokud se podíváme nahoru, druhý algoritmus můžeme na náš sestavovaný útvar aplikovat, pouze pokud má nějaký „vykouslý“ roh (matematicky řečeno je nekonvexní). Poslední krok důkazu tedy ilustrujeme na obr. vz564, kde uvádíme příklad toho, jak náš hledaný útvar může vypadat.

Komentář: K řešení lze také využít takzvaná Pickova věta, na kterou si někteří řešitelé vzpomněli. Při jejím použití bychom měli ukázat (stejně jako na konci našeho důkazu), že hledaný mnohoúhelník skutečně existuje. Abychom se něco naučili a nebyla to pro nás jen kouzelná formule, podobný vzorec jsme si ovšem výše odvodili sami.

Úloha č. 7

Koště bylo postavené tak, že při pohledu ze severu svíralo se zemí úhel 45 stupňů, při pohledu ze západu 60 stupňů a při pohledu shora měří jeden metr. Jak dlouhé je koště?

Řešení: Představme si kvádr, jehož tělesovou úhlopříčkou je právě koště. Při pohledu ze severu vidíme vlastně stěnovou úhlopříčku přední stěny. Ze zadání víme, že při pohledu ze severu svírá koště se zemí úhel 45\deg, přední stěna má tedy tvar čtverce. Označme si délku jeho strany jako a. Zbývající rozměr kvádru si označme jako b. Při pohledu ze západu se nám naopak koště jeví jako stěnová úhlopříčka boční stěny. Ze zadání víme, že koště při pohledu ze západu svírá se zemí úhel 60\deg. Představíme si proto rovnostranný trojúhelník, který má podstavu o délce 2b a výšku o délce a. Z Pythagorovy věty dopočítáme a=\sqrt{3} b. Dále víme, že koště se zdá při pohledu shora dlouhé 1 \m. Proto a^{2} + b^{2} = 3b^{2} + b^{2} = 4b^{2} = 1, tedy b = 1 \over 2 a a = \sqrt{3} \over 2. Nyní již můžeme délku tělesové úhlopříčky dopočítat pomocí Pythagorovy věty jako \sqrt{(\frac 1 2)^{2} + 2(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}} =\sqrt{\frac 7 4} = \frac{\sqrt{7}}{2} .

Koště je dlouhé \sqrt{7} \over 2 metrů.

Komentář: Většina řešitelů, kteří si uvědomili, že koště lze reprezentovat jako tělesovou úhlopříčku daného kvádru, úlohu vyřešila.

Opravovali: 1. Beáta Havelková, 2. Helena Muchová, 3. David Hájek, 4. Eliška Vítková, 5. Jan Škopek, 6. Adam Dřínek, 7. Veronika Menšíková.