Úloha č. 1

„Myslím si dvouciferné číslo. Udělám ciferný součet ciferného součtu tohoto čísla a vyjde mi 3. Kolik různých dvouciferných čísel si můžu myslet?“

Řešení: Úloha po nás chce najít všechna dvouciferná čísla, která po dvou ciferných součtech dají číslo 3. Úlohu budeme řešit obráceně, než jak došla k výsledku Terka. Nejprve si ale řekneme několik vlastností ciferného součtu. Ciferný součet nějakého čísla má maximálně stejný počet cifer, jako číslo původní. Výsledek ciferného součtu je maximálně tak velký jako původní číslo. A co je pro nás nejdůležitější, největší ciferný součet dvouciferného čísla je 18. To z toho důvodu, že do ciferného součtu mohou vstupovat jen cifry, cifra 9 je největší a můžeme ji použít až dvakrát.

Vezměme si tedy číslo 3. Chceme najít všechna jedno- a dvouciferná čísla, která mají ciferný součet 3 (více než dvouciferná čísla nemají smysl, protože ta by mohla být ciferným součtem jen čísla s více než dvěma ciframi). Aby číslo mělo součet 3 muselo obsahovat cifry 3 a 0, nebo 1 a 2. Potenciální ciferné součty myšleného čísla jsou tedy 3, 12, 21 a 30. Čísla 21 a 30 nemohou být ciferným součtem dvouciferného čísla, protože největším ciferným součtem je 18.

Chceme tedy teď najít všechna dvouciferná čísla, jejichž ciferný součet je 3 nebo 12. Dvouciferná čísla s ciferným součtem 3 jsou 3 a to 12, 21 a 30. Dvouciferných čísel s ciferným součtem 12 je 7. Postupů, jak přijít na tento počet, je víc. Můžeme si uvědomit, že nejmenší dvouciferné číslo, které má ciferný součet 12, je 39 a další z něj získáme zvýšením desítek o jedna a zmenšením jednotek také o jedna. Druhá často používaná možnost je vzít si možné dvojice cifer, jejichž součet je 12, tedy dvojice (3,9), (4,8), (5,7) a (6,6). Z variant, kde jsou dvě různá čísla, dokážeme složit dvě různá čísla a když jsou dvě stejná, bez ohledu na pořadí vždy vznikne stejné číslo. Dohromady máme 3\cdot 2+1=7 možností.

Celkem si tedy Terka mohla myslet 10 různých dvouciferných čísel.

Komentář: Úloha byla poměrně jednoduchá, ale o to více jsem hodnotila, jak dobře bylo řešení popsáno. Častou chybou bylo opomenutí, že první ciferný součet mohl být 3 a nezdůvodňovaní, proč jsou dané dva ciferné součty jedinými možnými. Úloha se dala řešit i pomocí kongruencí a modulární aritmetiky (počítání s dělením se zbytkem). Takové řešení je velmi elegantní, ale náročnější na vysvětlení.

Úloha č. 2

Jedno ze zaříkadel chtěl Murhak seslat na území, které mělo tvar čtverce. Potom ale zjistil, že na čtvercové území by zaříkadlo nefungovalo dobře, a tak jednu jeho stranu zvětšil o dvacet kilometrů. Na tak velké území by ale zaříkadlo seslat nezvládl, takže druhou stranu území zase o šest kilometrů zkrátil. Tím pádem mu zbylo území o rozloze o 40\,% větší, než s jakým začínal. Jak dlouhá byla strana původního čtverce?

Řešení: Zadání se dalo pochopit dvěma způsoby. Změna délky strany se dala chápat jako změna rozměrů obdélníku (obou jeho protilehlých stran), nebo jako změna délky pouze jedné strany. Označme si délku strany původního čtverce x.

V první situaci by pak mělo nově vzniklé území tvar obdélníku s rozměry x + 20 a x - 6. Ze zadání pak dostáváme rovnici 1,4 x^{2} = (x + 20) (x - 6), kterou můžeme dále upravit na x^{2} - 35 x + 300 = 0, tedy (x - 15)(x-20) = 0. Odsud dostáváme řešení x = 15 a x = 20. (Obě tato řešení vyhovují, protože obě x jsou větší než 6 a ani po zkrácení tedy nedostaneme stranu o záporné délce.) V tomto případě mohla mít tedy strana původního čtverce délku 15\,\rm km nebo 20\,\rm km.

V druhém případě dojde nejprve k prodloužení jedné ze stran na x + 20 a poté ke zkrácení protilehlé na x - 6. Nově vzniklé území má pak tedy tvar lichoběžníku se základnami o délce x + 20 a x - 6 a výškou x. (Vzdálenost mezi upravovanými protilehlými stranami zůstala stejná jako v případě čtverce, protože se měnila pouze jejich délka.) Obsah tohoto lichoběžníku je (x + 20) + (x - 6)/2 \cdot x = x^{2} + 7x . Ze zadání pak tedy dostáváme rovnici 1,4 x^{2} = x^{2} + 7x, což po úpravě dává x^{2} = 17{,}5x. Tato rovnice má řešení x = 0 a x = 17{,}5. Řešení x = 0 vyloučíme, protože délka strany čtverce je ze zadání zřejmě nenulová (a po zkrácení o 6\,\rm km bychom navíc dostali zápornou délku). V tomto případě tedy musela mít strana původního čtverce délku 17{,}5\,\rm km.

Komentář: Úloha patřila mezi ty jednodušší. Většina řešitelů uvažovala pouze jednu z výše popsaných situací, za což jsem body nestrhávala. Častou chybou bylo opomenutí kořenu x = 0 při řešení rovnice x^{2} = 17,5x.

Úloha č. 3

\def\m{\,{\rm m}}\def\deg{^\circ} Začali v bodě A a ušli 600\sqrt{3}\m. Pak se otočili o 120 stupňů doleva a ušli opět 600\sqrt{3}\m. Pak se otočili o 90 stupňů doprava a ušli 900\m. Nakonec se otočili o 120 stupňů doleva a ušli zase 900\m do bodu B. Na obrázku zad461 je vidět otočení o 120 stupňů doleva, začínáme-li u X a končíme-li u Y. O kolik delší jejich cesta byla, než kdyby šli z A do B přímo?

Řešení: Nakreslíme si naši cestu jako na obrázku vz431.

Nejdřív jdeme 600\sqrt{3}\m z A do D, potom se otočíme o 120\deg doleva a jdeme znovu 600\sqrt{3}\m z D do C. Pak se otočíme o 90\deg doprava a jdeme 900\m z C do F a pak se otočíme o 120\deg doleva a jdeme 900\m z F do B. Chceme zjistit, o kolik je tahle cesta delší než přímá vzdálenost A od B.

Přikreslíme si do obrázku bod E tak, že CDEF bude obdélník. Střed tohoto obdélníku si označíme S. Pak bude platit, že úsečka AS je kolmá na BS, protože AS je kolmá na CD (ACSD je deltoid a CD a AS jsou jeho úhlopříčky, takže na sebe musí být kolmé). Stejně tak je BS kolmá na CF. A protože víme, že CD je kolmá na CF, tak i AS je kolmá na BS.

Vidíme, že naše hledaná vzdálenost AB je přepona pravoúhlého trojúhelníku ABS. Její délku spočítáme Pythagorovou větou z délek stran AS a BS.

Délka |AS| je součet |AG| a |GS|. Úsečka AG je výška rovnostranného trojúhelníku ACS se stranou dlouhou 600\sqrt{3} \m. Tu spočítáme jako odvěsnu pravoúhlého trojúhelníku ACG: |AG|=\sqrt{|AC|^{2}-|CG|^{2}}. Dosadíme:

Délka |GS| je polovina |FC|, protože S je střed obdélníku CDEF, takže: |GS|=1/2\cdot 900=450\m. Pak |AS|=|AG|+|GS|=900+450=1350\m.

Podobně spočítáme délku |BS|. Je to totiž součet |BH| a |HS|:

Dosadíme

Délka |HS| je polovina |CD|, tedy 300\sqrt{3} \m. Celkem je to

Už stačí spočítat jen Pythagorovou větou délku AB:

Celá cesta, kterou jsme ušli, byla 600\sqrt{3}+600\sqrt{3}+900+900\doteq3878,46\m. Rozdíl této cesty s přímou vzdáleností AB je 3878,46-1873,50=2004,96\m. A to jsme chtěli najít.

Komentář: Úloha byla jedna z těžších. Většina řešitelů, kteří úlohu řešili, ji ale vyřešili správně. Část z nich použila pro řešení cosinovu větu. Pár řešitelů cestu jen narýsovalo a změřilo, za což jsem body strhávala.

Úloha č. 4

„Představ si pod tím radši kružnici k, na které leží body K, L a M. Pro bod N platí, že MN a LN jsou tečny kružnice k. Úhel LNM má 100 stupňů, úhel KMN má 80 stupňů,“ poradil jí Jindra, „kolik stupňů má úhel KLN?“

Řešení: Pro vyřešení úlohy budeme potřebovat pojem obvodového a úsekového úhlu a vztah mezi nimi. Máme-li kružnici k a na ní body A a B, řekneme, že úsečka AB je tětiva kružnice k. Úhel mezi touto tětivou a tečnou ke k v bodě A (nebo B) nazveme úsekovým úhlem (obr. vz441).

Dále pokud je V bod na k, který neleží na jejím oblouku ohraničeném body A, B, nazveme úhel \angle AVB obvodovým úhlem.

Platí, že velikost obvodového úhlu nezáleží na volbě V a že obvodový a úsekový úhel mají stejnou velikost.

Abychom mohli spočítat úsekový úhel oblouku LM, potřebujeme první dokázat, že \triangle MNL je rovnoramenný. Označme střed kružnice S. Pak |\angle SMN|=|\angle SLN|=90\deg (úhel poloměru kružnice a tečny), |SM|=|SL| (poloměr kružnice) a |SN|=|SN|; navíc |SN|>|SM|, takže podle věty Ssu jsou \triangle SMN a \triangle SLN shodné, |MN|=|LN|, \triangle MNL je rovnoramenný.

Můžeme dopočítat velikost úsekového úhlu |\angle NLM|= 1/2(180\deg-100\deg)=40\deg. Ale \angle MKL je obvodový úhel, takže má také velikost |\angle MKL|=40\deg.

Známe tři ze čtyř vnitřních úhlů čtyřúhelníku KMNL, a protože součet vnitřních úhlů čtyřúhelníku je vždy 360\deg, |\angle KLN|=360\deg-100\deg-80\deg-40\deg =140\deg.

Komentář: Úlohu bylo možno řešit více způsoby. Pomocí věty o součtu vnitřních úhlů čtyřúhelníku lze najít středový úhel oblouku ML, k němu poloviční obvodový úhel LKM a opět přes součet vnitřních úhlů čtyřúhelníku hledaný úhel KLN. Lze také ukázat, že úsečky MK a LS jsou na sebe kolmé a zbylé úhly dopočítat. Různá řešení byla zhruba stejně zastoupena a většina řešitelů se jich zhostila bez problému.

Úloha č. 5

Na tabuli jsou napsaná čísla od 1 do 1\,000\,000. Přišel David a smazal všechna prvočísla. Pak přišel Tom a postupně se zamyslel nad všemi čísly od 2 do 100 a od 1\,000 do 10\,000. Když nad nějakým číslem přemýšlel, smazal všechny jeho násobky na tabuli. Nakonec přišel Honzík a všechna zbylá čísla na tabuli vynásobil. Dokažte, že mu vyšla mocnina (větší než první) nějakého přirozeného čísla.

Řešení: Po Davidově mazání zbyla na tabuli jen čísla složená, takže každé číslo je součin alespoň dvou prvočísel (mohou být stejná). Po Tomově mazání zbyla na tabuli právě všechna složená čísla, která nemají nějakého svého dělitele mezi 2 a 100 nebo mezi 1\,000 a 10\,000.

Čísla na tabuli jsou složená, takže když je číslo na tabuli dělitelné prvočíslem větším než 10\,000, musí být dělitelné ještě nějakým dalším prvočíslem. A toto prvočíslo musí být menší než 100, protože největší číslo na tabuli je 1\,000\,000 = 100 \cdot 10\,000. To znamená, že na tabuli zbyla jen ta čísla, která dělí pouze prvočísla z intervalu od 101 do 999.

Předpokládejme, že by zůstalo na tabuli číslo X, které můžeme zapsat jako součin alespoň tří prvočísel od 101 do 999. I kdybychom za ně dosadili nejmenší možné hodnoty, tedy třikrát 101, dostaneme X = 101 \cdot 101 \cdot 101 > 1\,000\,000. Takže číslo X nebylo na tabuli napsáno ani na začátku.

Zbývá rozebrat čísla, která se dají zapsat jako součin dvou prvočísel z intervalu od 101 do 999. Ukážeme, že všechna taková čísla na tabuli zůstala. Jediné, co je potřeba ukázat, je, že všechny součiny vyjdou jako čísla mezi 10\,000 a 1\,000,000. To ale platí, stačí uvážit dvě nejmenší čísla -- 101 a 101 -- jejich součin je 10\,201 > 10\,000 a poté stačí uvážit dvě největší čísla -- 999 a 999 -- jejich součin je 999 \cdot 999 = 998\,001 < 1\,000\,000 (pokud nechceme počítat 999 \cdot 999, stačí si uvědomit 999 \cdot 999 < 1\,000 \cdot 1\,000 = 1\,000\,000, takže jistě 999 \cdot 999 < 1\,000\,000).

Nyní zbývá spočítat součin takových čísel. Vlastně nám stačí spočítat, kolikrát se každé prvočíslo vyskytne v nějakém čísle na tabuli. Každé prvočíslo můžeme vynásobit libovolným jiným prvočíslem z intervalu od 101 do 999, čímž dostaneme číslo na tabuli. Takže pokud počet prvočísel od 101 do 999 označíme jako P, tak každé prvočíslo ve výsledném součinu bude (P + 1) – krát (+1 se zde objevila kvůli tomu, že právě jednou se stane, že vynásobíme prvočíslo samo se sebou, čímž se za tuto dvojici objeví prvočíslo dvakrát). Nyní vidíme, že součin je (součin prvočísel od 101 do 999)^{(P + 1)}, a protože P > 0, tak se jedná o mocninu vyšší než první mocninu.

Komentář: Úloha patřila mezi obtížnější. Nejčastější chybou bylo opomenutí nějakého případu, který byl potřeba vyloučit. Také se občas stalo, že někdo zapomněl, že prvočíslo bude jednou vynásobeno samo se sebou, za což jsem ale body nakonec nestrhával.

Úloha č. 6

Najdi co největší čtyřciferné číslo N neobsahující nuly, které splňuje následující podmínku: pokud sečteme N s každým číslem, které vznikne z N pouhým přeházením cifer, získáme 106,656.

Řešení: Uvažujme nejprve případ, že v hledaném čísle jsou všechny 4 cifry různé. Cifry tohoto čísla si označme A, B, C a D. Víme, že pokud sečteme všechny kombinace čísel ABCD, ABDC, BACD, ..., vyjde nám číslo 106,656. Protože máme 4 různé unikátní číslice, můžeme z nich složit 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 4! = 24 unikátních čísel. Mezi těmito čísly se číslice A objeví na první pozici v \frac14 případů, tedy šestkrát. Stejně tak se šestkrát objeví na druhé, třetí a čtvrté pozici. To samé samozřejmě platí i pro číslice B, C a D. Součet všech těchto čísel tedy můžeme vyjádřit následovně:

Z rovnice jsme si tedy vyjádřili, že ciferný součet hledaného čísla musí být 16. Největší číslo s takovýmto ciferným součtem, které má všechny cifry různé a neobsahuje 0, je 9\,421.

Nyní uvažujme možnost, že se v čísle právě 2 cifry budou opakovat -- například cifry C a D. V tu chvíli se nám počet čísel, které z nich můžeme sestavit, zmenší na polovinu, protože původních 24 kombinací čísel můžeme rozdělit na 12 dvojic, které se liší pouze prohozením cifer C a D. Stejně tak se každá z cifer A až D na každé pozici objeví pouze třikrát. Ovšem protože neznámé C a D reprezentují stejnou cifru, tato cifra se na každé pozici objeví šestkrát. V celé rovnici výše nahradíme C za D a budeme postupovat stejně jako předtím:

Největší číslo s ciferným součtem 32, s právě dvěma stejnými ciframi a bez číslice 0, je 9\,986.

Pokud by se v hledaném čísle nějaká z cifer opakovala třikrát, získáme následující rovnici:

Ciferný součet čtyřciferného čísla ovšem může být nejvýše 36, což je méně než 96. Stejně tak hledané číslo nemůže být složené ze 4 stejných cifer, protože pak existuje pouze jedna jeho (identická) permutace -- toto číslo samotné by muselo být rovno 106\,656, což není možné.

Zbývá nám prověřit poslední možnost, a to, že v čísle jsou dvě a dvě cifry stejné. Můžeme složit 6 různých čísel, číslo A i číslo B bude na každé pozici třikrát:

Součet cifer A a B ovšem může být nejvýše 9 + 8 = 17, což je méně než 32. Naším hledaným číslem tedy musí být číslo 9\,986, které jsme našli v předchozích krocích.

Komentář: K řešení této úlohy se dalo dostat více možnými způsoby. Někteří řešitelé číslo 9\,986 natipovali, a pak jen ukázali, že žádné větší řešení nemůže existovat. Obecně tato úloha patřila mezi složitější, protože bylo potřeba pokrýt všechny možné okrajové případy.

Úloha č. 7

Zařízení je kvádr, jehož dvě tělesové úhlopříčky jsou na sebe kolmé a úhlopříčky jedné z jeho stěn jsou na sebe kolmé. Nejkratší hrana kvádru má 1 metr. Spočtěte povrch kvádru.

Řešení: Pokud jsou úhlopříčky obdélníku na sebe kolmé, musí být tento obdélník čtverec. To lze nahlédnout například následujícím způsobem. Úhlopříčky obdélníku se půlí a jsou stejně dlouhé, tedy obdélník dělí na rovnoramenné trojúhelníky se stejně dlouhými rameny. Pokud tyto trojúhelníky mají navíc u hlavního vrcholu stejný úhel, musí být shodné, tedy budou i všechny strany obdélníku stejně dlouhé. To se stane právě tehdy, když jsou na sebe úhlopříčky kolmé.

Tedy jedna ze stěn kvádru musí být čtverec, označme ji ABCD. Protější stěnu označíme EFGH, aby AE, BF, CG a DH byly hrany kvádru. V zadání není specifikováno, které dvě tělesové úhlopříčky jsou na sebe kolmé. Kvádr má čtyři tělesové úhlopříčky. Ze symetrie kvádru platí, že úhel mezi AG a CE je stejný jako úhel mezi BH a DF. Zbývají čtyři dvojice úhlopříček. Díky tomu, že ABCD je čtverec, svírají všechny tyto čtyři dvojice stejné úhly.

Kdyby na sebe byly kolmé úhlopříčky AG a BH, musel by být ABGH čtverec (obr. vz472). Tedy by platilo |BG| = |AB| = |BC|. Avšak BCG je pravoúhlý trojúhelník s přeponou BG, která musí být ostře delší než odvěsna BC. Tato možnost proto nastat nemůže a musí na sebe být kolmé úhlopříčky AG a CE.

Označme délku hrany AB jako a. Potom z Pythagorovy věty platí |AC| = \sqrt{|AB|^{2} + |BC|^{2}} = \sqrt{a^{2}+a^{2}} = a\sqrt{2}. Z kolmosti AG a CE víme, že ACGE je čtverec (resp. BDHF, obr. vz471), tedy |AE| = |AC| = a\sqrt{2}. Všechny ostatní hrany jsou buď stejně dlouhé jako AE nebo stejně dlouhé jako AB. Protože a<a\sqrt{2}, je a nejkratší hranou kvádru a měří 1\m. Zbývá už jen spočítat povrch kvádru:

Povrch kvádru tedy je (2+4\sqrt{2})\m^{2}.

Komentář: Dopočítat se ke správnému výsledku nebylo příliš obtížné. Ovšem v řešení často chyběl argument, která dvojice tělesových úhlopříček je na sebe kolmá. Nakonec jsem se rozhodla za to body nestrhávat, ale dávajte si na to víc pozor. Teoreticky by z toho totiž mohl vzejít úplně jiný případ. Velmi ale chválím ty, kteří zvládli všechnu argumentaci bezchybně.

Opravovali: 1. Eliška Vítková, 2. Veronika Menšíková, 3. Helena Muchová, 4. Matouš Cimala, 5. Erik Ježek, 6. Adam Dřínek, 7. Magdaléna Mišinová.