Úloha č. 1

„Najdi největší číslo, které není dělitelné třemi, žádná cifra se v něm neopakuje, a když vezmeš jakékoli tři jeho po sobě jdoucí cifry, tak ta prostřední je z nich buď nejmenší, nebo největší.“

Řešení: Jelikož se nemůže v čísle opakovat žádná cifra a máme deset různých cifer, může být číslo maximálně deseticiferné. Dále víme, že číslo není dělitelné třemi, takže nemá ciferný součet dělitelný třemi. U deseticiferného čísla by byl ciferný součet 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45, což je dělitelné třemi. Musíme tedy nějakou cifru odebrat, aby ciferný součet nebyl dělitelný třemi a zároveň byl co největší, aby se v čísle nacházely co největší cifry. Odebereme tedy nejmenší číslici (kromě nuly, která by ciferný součet neovlivnila), tedy číslici 1. Ciferný součet pak bude 44, což dělitelné třemi není.

Nyní musíme dát číslice na pozice. Kdybychom udělali z těchto číslic co největší číslo, bylo by to číslo 987\,654\,320. Jenže tady je prostřední číslice z každé trojice číslic číslice s prostřední velikostí. Číslice 9 a 8 nemohou být vedle sebe, protože číslice 8 by v tomto případě měla být menší než její dvě sousední číslice, jenže protože je to druhá největší číslice, tak to nejde. Když ale mezi ně vložíme třetí největší číslici, číslici 7, je z této trojice nejmenší číslicí. Máme číslo 978\,654\,320. Číslice 8 je největší z trojice 786, takže to měnit nemusíme. Číslice 6 ale není ani nejmenší ani největší z trojice 865. Když ale prohodíme číslici 5 a 6, tak číslice 8 pořád bude větší než její sousední číslice a číslice 5 bude nejmenší z trojice 856. Teď tedy máme číslo 978\,564\,320. Číslice 6 v trojici 564 je největší, takže tohle můžeme nechat. Číslice 4 v trojici 643 není největší ani nejmenší, když ji ale prohodíme s číslicí 3, tak číslice 3 bude v trojici 634 nejmenší a číslice 6 bude stále větší než její sousední číslice. Teď máme číslo 978\,563\,420. Číslice 4 je v trojici 342 největší, takže to také není žádný problém. Číslice 2 ale není v trojici 420 největší ani nejmenší, takže ji prohodíme s číslicí 0, která je v trojici 402 nejmenší a číslice 4 stále bude větší než její sousední číslice.

Největší číslo, které splňuje dané podmínky, je tedy číslo 978\,563\,402.

Komentář: Většina řešitelů si s touto úlohou poradila. Jednou z častějších chyb bylo, že místo postupného dosazování číslic od největší tak, aby byly splněné podmínky, si řešitel rozdělil číslice na čtveřici 9, 8, 7 a 6 a na pětici 5, 4, 3, 2, 0 a poté střídavě dosazoval číslice z těchto dvou skupin, takže mu pak vyšlo číslo 958\,473\,602, které splňuje podmínky, ale není největší. Jinak řešení úlohy byla většinou správná.

Úloha č. 2

\def\cm{\,{\rm cm}} „Je to rovnostranný trojúhelník, v něm je co největší kruh a v tom kruhu je co největší čtverec. Ten čtverec má stranu délky 4 \cm,“ (obr. zad321). Jaká je délka strany trojúhelníku?

Řešení: V naší úloze máme vypočítat délku strany rovnostranného trojúhelníku, když délka jedné strany čtverce je rovna 4 \cm.

Co určitě můžeme spočítat? Všimněme si daného čtverce a vyznačme jeho úhlopříčky. Obě mají stejnou délku. Jejich průnikem nám vznikne bod S, který dělí obě úhlopříčky na stejně dlouhé části. Proto vzdálenost bodu S od každého vrcholu čtverce je stejná a S je tedy střed kružnice opsané. Situaci můžeme vidět na obrázku vz321.

Můžeme říct, že úhlopříčka čtverce je průměrem kružnice, a tedy polovina délky úhlopříčky bude rovna poloměru. Podle Pythagorovy věty platí

kde a je délka strany čtverce a u je délka jeho úhlopříčky. Dostaneme u^{2}= 4^{2}+4^{2}, z čehož u=\sqrt{(4 \cm)^{2}+(4 \cm)^{2}}=\sqrt{32} \cm. Můžeme výsledek upravit na u=\sqrt{32} \cm =\sqrt{4\cdot4\cdot 2} \cm =4\cdot \sqrt{2} \cm. Pro polovinu úhlopříčky neboli pro poloměr kružnice dostaneme r=u/2=4\cdot \sqrt{2}/2. Tedy r=2\cdot \sqrt{2} \cm.

Nyní si vyznačme těžnice trojúhelníku. Tuto situaci můžeme vidět na obrázku vz322. Kružnice je opsaná čtverci, ale vepsaná trojúhelníku. Dokážeme si, že těžiště trojúhelníku splývá se středem vepsané kružnice trojúhelníku. Střed kružnice vepsané leží na osách úhlů. Protože trojúhelník je rovnostranný a těžnice vždy z vrcholu směřuje ke středu protilehlé strany, dělí těžnice rovnostranný trojúhelník na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky a jsou tedy také osami úhlů. Z toho důvodu střed kružnice vepsané trojúhelníku splývá s těžištěm.

Můžeme tedy vidět a vyvodit, že poloměr kružnice je třetinou těžnice trojúhelníku. Pro těžnici trojúhelníku dostáváme t=3\cdot r=6\cdot \sqrt{2} \cm.

Můžeme také logicky vyvodit, že těžnice jsou kolmé na strany a jsou tedy zároveň výškami trojúhelníku, které jsou v rovnostranném trojúhelníku všechny stejně dlouhé. Proto se podívejme na obrázek vz323 a vyznačme jednu výšku trojúhelníku.

Vytvoří se dva pravoúhlé trojúhelníky. Označme si stranu rovnostranného trojúhelníku jako 2x. Těžnice (výška) dělí stranu na dvě poloviny. Proto další strana v pravoúhlém trojúhelníku je x. Výška má délku t=6\cdot \sqrt{2} \cm.

Dle Pythagorovy věty platí 4x^{2}=x^{2}+(6\cdot \sqrt{2} cm)^{2}. Tedy 3x^{2}=72 \cm^{2}. Z čehož dostaneme x^{2}=24 \cm^{2}.

Pro stranu rovnostranného trojúhelníku dostáváme 2x=2\cdot \sqrt{24} \cm.

Komentář: Úloha byla poměrně jednoduchá, využívala znalosti Pythagorovy věty a vlastností rovnostranného trojúhelníku. Proto si velká většina řešitelů s úlohou velmi dobře poradila.

Úloha č. 3

Skládačka sestává z alespoň dvou stejných dílů, které vznikly slepením alespoň dvou krychliček. Ze skládačky se dá postavit čtyřpatrová pyramida, jejíž první patro je čtverec 4 \times 4, druhé \times 3, třetí 2 \times 2 a poslední je tvořené jen jednou kostičkou. Středy těchto čtverců leží nad sebou, jejich strany jsou rovnoběžné (obr. zad331). Jak vypadá díl skládačky a jakým způsobem lze pyramidu sestavit?

Řešení: Budeme se snažit najít všechna řešení, proto začneme omezujícími podmínkami.

Aby mohla být pyramida složená z několika stejných dílů, musí počet krychlí v dílu dělit počet krychlí v pyramidě. Celkově má pyramida 30 krychlí, možné velikosti dílů tedy kvůli této podmínce jsou 30, 15, 10, 6, 5, 3, 2, 1. Navíc ze zadání tyto díly musejí být alespoň ze dvou krychlí a musejí být alespoň dva. Počty 30 a 1 tedy můžeme vyškrtnout.

Dále mi přijde nejjednodušší postupně vyvracet možné počty krychlí v dílu. Vezmu je od nejvyššího. A ve všech případech si uvědomuji, že jsou patra posunutá a nad sebou jsou jen krychle ob jedno patro a díly, které zasahují do dvou pater pod sebou, nelze položit „na bok“, tak aby se z vertikálního směru stal horizontální.

• 15: Pokud by se každý díl skládal z patnácti krychlí (byly by dva díly), tak by jeden musel obsáhnout vrchol a mít výšku čtyři, ale druhý by tak vysoký být nemohl, takže z takto velkých dvou dílů pyramidu složit nelze.

• 10: Pokud by se každý díl skládal z deseti krychlí a byly by celkově tři díly, tak aby tyto tři díly rozdělily základnu na tři nějaké části, musel by alespoň jeden díl mít dvě kostičky o tři od sebe, tedy všechny tři musejí mít na základně dvě kostičky o tři od sebe. Jen jeden z těchto dílů obsáhne nejvyšší vrchol a bude tedy vyšší než zbylé dva a nebudou tedy stejné. Na tři stejné kusy pyramida také rozdělit nejde.

• 5: Pokud by se pyramida skládala z šesti dílků po pěti, tak by každý musel zasahovat do alespoň tří pater (ten, který obsahuje vrchol musí, zasahovat alespoň o dvě patra níž), ale v horních dvou patrech je jen pět kostiček, takže ani na šest dílů pyramida rozdělit nejde.

• 6: Pokud by se pyramida skládala z pěti dílků po šesti, tak aby neplatilo zdůvodnění z předchozího kroku, musel by jeden dílek zasahovat pouze do čtvrtého a druhého patra a zbylé čtyři pouze do prvního a třetího. Ale už z počtů krychlí na těch patrech vidíme, že to nejde.

• 3: Pokud se pyramida skládá z deseti dílků po třech, tak žádný dílek nemůže zasahovat přes jedno, tři nebo čtyři patra, protože horní dvě patra mají jen pět dílů a ob jedno patro také být nemohou, protože by nevyplnily druhé a třetí patro. Musejí tedy být ve dvou vedlejších patrech. Aby vytvořily vrchol, tak se musejí všechny dotýkat a na patře se dvěma nemohou být úhlopříčně, protože by nepokryly rohy druhého patra, takže musejí být vedle sebe. A pouze v tomto případě existuje řešení, které rozebereme níže.

• 2: Pokud by se pyramida skládala z patnácti dílků po dvou, tak je třeba rozebrat několik případů, totiž když jsou dílky na vedlejších patrech a když jsou ob jedno patro (na stejném patře ani ob dvě patra zjevně být nemohou). Pokud by byly ve vedlejších patrech, tak by poslední patro nemohlo mít víc krychlí než ostatní dohromady a pokud by byly ob jedno, tak by musely být nad sebou (jinak by neobsáhly prostřední políčko druhého patra), a tím by se nutně určila horní tři patra, ale poslední by vyplnit nešlo. Ani takto pyramida rozdělit nejde.

Vylučováním možností jsme došli k výsledku, že jediný možný rozklad je na deset dílů ze třech krychlí, kde dvě krychle jsou vedle sebe a třetí těsně nad/pod (záleží na natočení) nimi.

Nyní jen ukážeme, že pro tento jediný případ skutečně pyramida rozložit jde. Řešení po patrech je zobrazeno na obrázku vz332, pohled shora pak na obrázku vz331.

Komentář: Řešitelé, kteří pouze ukázali správné řešení, ale nezdůvodňovali, že jich není víc, nedostali plný počet bodů, protože jsem chtěl ocenit ty, kteří ostatní možnosti vyvraceli, i když často jim nějaký detail chyběl.

Úloha č. 4

Palindrom je číslo, které čteno odzadu je stejné, jako čteno zepředu. Ukažte, že každý palindrom, který má sudý počet cifer, je násobek jedenácti.

Řešení: Jako příklad budeme používat šesticiferný palindrom 497\,794. Palindrom můžeme vyjádřit jako číslo ABC\,CBA, kde A, B a C jsou námi zvolené cifry 4, 9 a 7. Vzorec poté můžeme rozložit takto:

Podaří-li se nám dokázat, že všechna čísla 11, 1\,001, 100\,001... jsou dělitelná 11, bude původní palindrom také dělitelný 11, nehledě na koeficienty A, B a C. Pojďme to tedy zkusit. Každé z těchto čísel můžeme rozepsat ve tvaru 10^{k} + 1. Například 1\,001 = 10^{3} + 1. Zajisté platí, že:

Část výrazu dělitelnou 11 můžeme ignorovat a zbyde nám -10^{2} + 1. Tento výraz můžeme opět rozepsat dle vzorce výše:

Po dvou aplikacích stejného vzorce se nám znaménko mínus vykrátilo a zcela jasně vidíme, že výraz vpravo je dělitelný 11. Ovšem pokud bychom začínali s čísly s lichým počtem cifer, jako například 101, 10\,001..., po několikanásobné aplikaci vzorce bychom skončili s výrazem -10^{1} + 1, který zcela jistě dělitelný 11 není. Naštěstí ze způsobu, kterým jsme si palindrom na začátku důkazu rozepsali, vyplývá, že vždy začínáme s čísly se sudým počtem cifer. Tímto jsme dokázali, že palindrom výše je dělitelný jedenácti, a také že jedenácti jsou dělitelné i všechny ostatní palindromy se sudým počtem cifer.

Komentář: Spousta řešitelů si povšimla, že při řešení této úlohy lze využít pravidlo dělitelnosti 11. To určitě není náhoda, náš vzorový důkaz se důkazu pravidla pro dělitelnost 11 podobá.

Úloha č. 5

Černokněžník Murhak zajal yettiho, trpaslíka a upíra. Řekl svému učni, aby na ně uvalil kletbu, aby mluvili pořád jen pravdu. Učeň je ale popleta, takže nejspíš nějaké zajatce zaklel, že pak jenom lhali. Yetti řekl: „Trpaslík lže a upír mluví pravdu.“ Trpaslík řekl: „Yetti mluví pravdu nebo platí, že upír mluví pravdu a já lžu.“ Upír řekl: „Já nebo yetti mluvíme pravdu. Zároveň trpaslík lže.“ Kdo z nich lže a kdo mluví pravdu?

Řešení: Pro začátek je vhodné zmínit, že kdykoli se v matematice (a tedy i následujícím textu) použije slovo nebo, myslí se tím, že platí buďto první možnost, nebo ta druhá, anebo obě zároveň. Pro přehlednost uvedeme výroky jednotlivých postav:

• Yetti: „Trpaslík lže a upír mluví pravdu.“

• Trpaslík: „Yetti mluví pravdu nebo platí, že upír mluví pravdu a já lžu.“

• Upír: „Já nebo yetti mluvíme pravdu. Zároveň trpaslík lže.“

Pokud bychom u některé z postav věděli, že lže, pak bychom mohli považovat za pravdivý opak jejího výroku. Tedy bychom věděli následující:

• Yetti: „Trpaslík mluví pravdu nebo upír lže.“

• Trpaslík: „Yetti lže a zároveň platí, že upír lže nebo já mluvím pravdu.“

• Upír: „Já i yetti lžeme. Nebo platí, že trpaslík mluví pravdu.“

Jak jsme k tomu dospěli? Uvedeme jako příklad tvrzení trpaslíka. Ten nám říká, že platí alespoň jedna z následujících dvou věcí: jednak, že yetti mluví pravdu, a druhak, že upír mluví pravdu a on sám lže. Aby bylo toto tvrzení nepravdivé, tak potřebujeme, aby obě tyto části byly nepravdivé. Tedy potřebujeme, aby neplatilo, že yetti mluví pravdu, a zároveň neplatilo, že upír mluví pravdu a on sám lže. To, že neplatí, že yetti mluví pravdu, je vlastně to, že yetti lže.

Podívejme se nyní na druhou část jeho výroku -- tedy že upír mluví pravdu a on sám lže. Trpaslík v této části svého výroku říká, že platí obě tyto informace. Čili k tomu, aby to bylo nepravdivé, stačí, aby jedna z těchto dvou informací byla nepravdivá. Čili stačí, aby buďto upír lhal, nebo on sám mluvil pravdu. Tedy aby byl celý trpaslíkův výrok nepravdivý, tak musí platit, že yetti lže a k tomu navíc, že upír lže nebo trpaslík sám mluví pravdu.

Abychom zjistili, kdo lže a kdo mluví pravdu, zkusme nejprve předpokládat, že yetti mluví pravdu. Potom platí, že trpaslík lže a upír mluví pravdu. A tedy, že je trpaslíkův výrok lživý. Z negace trpaslíkova výroku vyplývá, že yetti lže. To si ale protiřečí s naším předpokladem, že yetti mluví pravdu. To nedává smysl, tedy náš předpoklad je nesprávný. Což znamená, že yetti nemůže mluvit pravdu, tedy musí lhát.

Abychom zjistili identitu upíra, nemusíme už vůbec brát v potaz, co říká on sám -- stačí se podívat, co nám říká yetti. O yettim víme, že lže. Tedy platí, že trpaslík mluví pravdu nebo upír lže. Jenže trpaslík pravdu nemluví, tedy upír musí lhát.

Z nepravdivosti yettiho výroku víme, že trpaslík mluví pravdu nebo upír lže. Zkusme proto předpokládat, že trpaslík mluví pravdu. První možnost pro splnění trpaslíkova výroku je, že yetti mluví pravdu. To ale určitě neplatí. Musí být proto pravdivá druhá část trpaslíkova výroku, tedy že upír mluví pravdu a trpaslík lže. To ale nedává smysl, protože pravdomluvný trpaslík přece nemůže tvrdit, že on sám lže. Tedy trpaslík také lže.

Celkově jsme tedy dostali, že všichni tři lžou. Není to sice moc optimistické, ale tak už to v životě chodí -- spravedlivého aby člověk (anebo yetti) pohledal.

Ještě by se hodilo poznamenat, že v úloze tak nějak předpokládáme, že každá postava buďto mluví pravdu, anebo lže, ale nemluví nesmysly. Například, že pokud jsme u yettiho dokázali, že to prostě nejde, aby mluvil pravdu, tak že už můžeme předpokládat, že yetti je opravdu lhář.

Nicméně v životě se občas stane, že to, co lidé říkají, prostě nedává smysl. Takže se hodí pro jistotu takovou možnost nevylučovat a udělat si zkoušku. Tedy ověřit, že pokud jsme si u nějaké postavy řekli, že mluví pravdu, tak je její výrok pravdivý. A naopak, že pokud některá postava lže, tak již je její výrok lživý. Jelikož jsme dospěli k závěru, že všechny postavy musí lhát, tak zkusme ověřit, že jsou všechny tři výroky nepravdivé:

Yetti říká, že trpaslík lže a upír mluví pravdu. My ale víme, že upír pravdu nemluví, tedy yettiho výrok je nepravdivý.

Trpaslík říká, že yetti mluví pravdu nebo platí, že upír mluví pravdu a on sám lže. Jenže yetti lže a upír taky, takže obě části jeho tvrzení jsou nepravdivé, tedy celé jeho tvrzení je nepravdivé.

Upír říká, že on sám nebo yetti mluví pravdu. A že zároveň s tím trpaslík lže. My ale víme, že on i yetti lžou, tedy první část jeho výroku není pravda. A podle upíra platí obě části jeho výroku (používá spojku „a zároveň“), čili jeho výrok jako celek také neplatí.

Tedy jsme ověřili, že pokud všechny tři postavy lžou, pak jsou všechny jejich tvrzení nepravdivá. Což jsme přesně chtěli.

Komentář: Z principu se může stát, že by nám výroky postav nestačily k tomu, abychom byli schopni u každé postavy její pravdomluvnost určit. Kdyby například yettiho výrok byl „mám hlad“, tak nám to o jeho pravdomluvnosti nic neřekne, protože jestli má opravdu hlad, my nevíme.

Úloha č. 6

Yetti dal Terce a Jindrovi tabulku, která se skládala ze čtverce 5 \times 5 slepeného se čtvercem 3 \times 3, viz obr. zad361, a figurku. Dal jim za úkol projít tabulku figurkou tak, aby každé políčko navštívila právě jednou. Z políčka se může figurka posunout jen na takové, které s ním sousedí stranou. Začínat a končit může kdekoli, třeba i na různých políčkách. Jindra po chvíli prohlásil: „Vždyť to ale nejde!.“ Vysvětlete, proč měl pravdu.

Řešení: Tabulku obarvíme jako šachovnici tak, že levé dolní políčko bude černé (obr. vz361). Snadno spočítáme, že černých políček máme 18 a bílých políček 16. Důležitým pozorováním je, že na takto obarvené tabulce figurka při každém tahu změní barvu políčka, na kterém stojí. Je to díky tomu, že nikde spolu stranou nesousedí dvě políčka stejné barvy. Z toho plyne, že každé dva po sobě jdoucí kroky projdeme přes jedno černé a jedno bílé políčko. Úplně první krok je vybrání políčka, kde figurka začíná. Všechny další kroky už jsou jednotlivé posuny. A protože tabulka má 34 políček, tak musíme udělat 34 tahů. Takže projdeme přes 17 černých a 17 bílých políček. To ale nelze vzhledem k tomu, že máme 16 bílých a 18 černých políček.

Komentář: V podstatě všechna správná řešení nějakým způsobem použila šachovnicové obarvení. Druhá část řešitelů se snažila rozebrat všechny případy, ovšem takový přístup nikdo nedotáhl do konce, protože takových možností je hodně a v rozboru je velmi jednoduché opomenout nějaký z případů. Obecně, pokud v úloze vidíte tabulku a chcete ji vyplnit, tak je dobré vyzkoušet nějaké obarvení. Často funguje toto šachovnicové obarvení, ale jsou i úlohy, ve kterých je potřeba obarvení složitější -- například je potřeba více barev.

Úloha č. 7

V hrníčku na čaj měli 730 mililitrů vody o teplotě 22 stupňů, potom měli v kotlíku čajový odvar o teplotě 80 stupňů a ze skály vytékal pramínek, který měl 10 stupňů. Ideální teplota na pití čaje je 37 stupňů. Kolik čajového odvaru a kolik vody z pramínku mají do hrníčku přidat, aby v něm byl 1 litr tekutiny, který má 37 stupňů?

Řešení: Jako první označíme jednotlivé neznámé. Množství čajového odvaru, které do tekutiny přidáme, označíme x a množství vody z pramínku y. Dalším krokem je sestavení rovnic, které budou pro naši výslednou tekutinu platit. První z rovnic se bude týkat celkového množství tekutiny, které je, jak víme ze zadání, 1 litr, a ten získáme sečtením množství vody v hrníčku na čaj, čajového odvaru v kotlíku a vody z pramínku. Rovnice tedy bude vypadat následovně:

Druhá rovnice se bude týkat výsledné teploty naší tekutiny. Ta má mít teplotu 37\deg C, 730,ml vody v hrníčku má teplotu 22\deg C, odvar v kotlíku 80\deg C a voda z pramínku 10\deg C. Při sestavování rovnice ale samozřejmě musíme zohlednit i množství každé z tekutin, vytvoříme proto rovnici s váženým průměrem, fyzikálně bychom ji mohli nazvat zjednodušenou kalorimetrickou rovnicí:

V tuto chvíli se nám podařilo sestavit soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, kterou stačí vyřešit. Z první rovnice můžeme jednu neznámou vyjádřit a tu následně dosadit do rovnice druhé:

Nyní už zbývá jen hodnotu x dosadit do první rovnice, čímž získáme výslednou hodnotu y a úloha bude vyřešena:

Do hrníčku musíme přidat 1\,824/7\,{\rm ml} čajového odvaru a y=66/7\,{\rm ml} vody z pramínku.

Komentář: Tato úloha byla poměrně jednoduchá. Většina řešitelů neměla problém spočítat množství vody a odvaru, které musíme do hrníčku dolít, chyby se vyskytovaly jen ojediněle. Ve větší míře jsem ovšem strhával body za nedostatečně vysvětlený postup. Mezi nejčastější chyby v tomto směru patřilo neokomentování sestavených rovnic či nedopočítání druhé neznámé (v odpovědi byl bez postupu uveden jen výsledek).

Opravovali: 1. Magdaléna Nováková, 2. Jiří Preč, 3. František Steinhauser, 4. Adam Dřínek, 5. Antonín Hejný, 6. Erik Ježek, 7. Jan Škopek.