Úloha č. 1

Na obrázku byla tabulka 8\times 8, která byla téměř celá vyskládaná L-triominy. Některé byly i otočené. Zbylo jen jedno nezakryté políčko. Kde v tabulce může toto políčko zbýt? Určete všechny možnosti.

Řešení: Ukážeme, že volné mohlo zůstat libovolné políčko tabulky.

První důležité pozorování je, že když umíme tabulku 8\times 8 vyplnit nějakým způsobem, můžeme celé vyplnění otočit okolo středu tabulky. Například když může zůstat volné jedno rohové políčko, mohou zůstat volná i zbylá rohová políčka a podobně. Představme si na chvilku, že umíme L=triominy vyskládat útvar, který vznikne z tabulky 8\times 8 odebráním čtverce 4\times 4, který je v rohu. Potom by nám díky otáčení stačilo ukázat, že umíme nechat libovolné políčko volné při vyplňování čtverce 4\times 4.

Čtverec 4\times 4 můžeme vyskládat například následujícím způsobem (obr. vz211), kde v pravém horním rohu může být jakkoli natočené L-triomino:

Díky tomu, že toto vyplnění můžeme opět libovolně otáčet, opravdu dokážeme ve čtverci 4\times 4 nechat volné libovolné políčko.

Speciálně můžeme nechat ve čtverci 4\times 4 volné rohové políčko. Když k sobě přiložíme tři takové čtverce tak, aby sdílely roh, v němž mají volné políčko, můžeme tato tři volná políčka zakrýt L-triominem. Tímto způsobem tedy můžeme vyplnit tabulku 8\times 8 bez rohového čtverce 4\times 4. Onen rohový čtverec pak můžeme vyplnit tak, aby v něm zůstalo volné libovolné políčko. A protože to, který čtverec 4\times 4 jsme vynechali, si volíme libovolně, můžeme nechat volné libovolné políčko v celé tabulce (obr. vz212).

Komentář: Můžeme si všimnout, že jsme vlastně udělali dva nebo tři stejné kroky. Nejprve jsme z tabulky 8\times 8 odebrali rohový čtverec 4\times 4, abychom ho řešili zvlášť. Z toho jsme opět odebrali rohový čtverec, tentokrát 2\times 2, a řešili jsme ho zvlášť. To už bylo jednoduché, ale také se na to dá dívat tak, že jsme z něj odebrali rohový čtverec 1\times 1, pro nějž jsme to vyřešili. To nás může přivést na myšlenku, že úloha bude úplně stejně fungovat pro libovolný čtverec se stranou, jejíž délka je mocnina dvou. Důkaz se udělá úplně stejně, jenom se popsaný krok udělá víckrát. Formálně to jde říct pomocí takzvané matematické indukce.

Došlo mnoho správných řešení, bohužel někteří řešitelé se snažili tabulku vyskládat téměř pouze za pomocí obdélníků 2\times 3, což ale nelze.

Úloha č. 2

\let\angle\sphericalangle\def\deg{^\circ} Jindra Terce ukázal obrazec jako na obrázku zad221. Některé délky úseček jsou stejně dlouhé. Dokažte, že délka a je stejná jako délka c.

Řešení: Body v trojúhelníku si pojmenujeme (obr. vz221). Pro důkaz stačí, že \triangle FCE a \triangle EBD jsou shodné, protože mají shodné strany (podle věty sss). Protože jsou shodné, mají i shodné úhly. Platí tedy, že |\angle FCE|=|\angle EBD|. Protože jsou tyto úhly stejné, je \triangle ABC rovnoramenný s rameny |AB|=|AC|, což nám dává rovnost a+b=b+c, z čehož odečtením b dostáváme a=c.

Na obrázku ale platí více věcí: všimněme si, že \triangle CEF, \triangle BDE a \triangle DFE mají strany dlouhé b, c a c, tedy jsou shodné a mají stejné úhly. Zároveň jsou také rovnoramenné. Z toho vyplývá, že \alpha=|\angle FCE|=|\angle CEF|=|\angle EFD|=|\angle FDE|=|\angle EDB|=|\angle DBE|.

Trojúhelník ABC je rovnoramenný, protože dvě jeho strany jsou b+c. Proto je \angle BAC stějně velký jako \angle ABC a jeho velikost je \alpha. Pak je rovnoramenný ještě \triangle ADF, tedy úhel \alpha je i |\angle ADF|.

Můžeme si všimnout, že trojúhelník ABC má všechny úhly stejné, takže je rovnostranný. Malé trojúhelníčky jsou tedy také rovnostranné, protože mají dva úhly \alpha=60\deg, proto i třetí musí být 60\deg. Tím jsme dokázali, že a=b=c.

Komentář: Úloha byla jedna z jednodušších, a proto většina řešitelů získala plný počet bodů. Nejčastější chyby spočívaly v neúplnosti důkazu.

Úloha č. 3

Na stěně je za sebou napsáno 2\,500 různých čísel. Pro každé z nich platí, že když si ho Jindra vybere a podívá se na předcházející čísla, počet těch, která jsou větší než vybrané číslo, se liší nejvýše o jedna od počtu těch, která jsou menší. Jindra zjistil, že 84. číslo je větší než 222. číslo. Které číslo je větší, 83. nebo 2022.?

Řešení: Pro snazší orientaci označme n-té číslo a_{n}. Řada čísel na stěně vznikla nějak takto:

• první dvě čísla (a_{1} a a_{2}) můžeme zvolit libovolně, ať už a_{1} <a_{2}, nebo a_{2} <a_{1}. Pro ilustraci vezměme třeba a_{1} <a_{2}.
• a_{3} už musíme zvolit mezi a_{1} a a_{2}, tedy tak, aby a_{1} <a_{3} <a_{2}. Při jiné volbě by neplatila podmínka o počtu větších a menších čísel ze zadání. Stejně můžeme dopočítat, že musí platit a_{1} <a_{4} <a_{2}, ale už nezáleží na tom, jestli a_{3} <a_{4}, nebo a_{4}<a_{3}.

Podobně odvodíme, že každé číslo s lichým pořadím (a_{2k+1}) musíme umístit mezi dvě předchozí (a_{2k-1} a a_{2k}) a následující číslo (a_{2k+2}) můžeme dát kamkoli do téhož intervalu (stále mezi a_{2k-1} a a_{2k}), ať už a_{2k+1}<a_{2k+2}, nebo a_{2k+2}<a_{2k+1}.

Protože ale a_{2k-1} a a_{2k} leží mezi a_{2k-3} a a_{2k-2}, musí i a_{2k+1} a a_{2k+2} ležet mezi a_{2k-3} a a_{2k-2} a mezi všemi předchozími dvojicemi lichého a následujícího sudého čísla.

Tak ale i a_{222} musí ležet mezi a_{83} a a_{84} a z možností a_{83}<a_{222}<a_{84} a a_{84}<a_{222}<a_{83} vybereme první, odpovídající zadání. I a_{2022} musí ležet mezi a_{83} a a_{84}, a protože už víme, že a_{83}<a_{84}, musí být a_{83}<a_{2022}<a_{84}, slovy zadání úlohy 83. číslo je menší než 2\,022. číslo.

Komentář: Mnoho řešitelů předpokládalo, že každá z dvojic lichého a následujícího sudého čísla musí být uspořádána stejně, tedy že čísla s lichým pořadím tvoří rostoucí a se sudým klesající posloupnost.

Častý byl také předpoklad, že použitá jsou právě čísla od 1 do 2\,500.

Žádné z těchto tvrzení ale ze zadání nijak neplyne a není ani potřeba k rozhodnutí otázky.

Úloha č. 4

Bába Ryklová police ve své knihovně číslovala následujícím způsobem. Na první napsala 1, na druhou 3. Na každou další potom napsala součet čísla předchozí police a šestinásobku čísla předpředchozí police (tedy například třetí police má číslo 3+6\cdot 1 = 9). Ukažte, že 43. police má číslo, které je třetí mocninou nějakého přirozeného čísla.

Řešení: Pokud vypíšeme pár prvních čísel na policích 1, 3, 9, 27, 81, ..., můžeme si všimnout, že by mohlo platit, že každé další číslo na polici je trojnásobkem toho předchozího.

Tvrzení: Číslo na k-té polici je rovno 3^{k-1}.

Důkaz: Pro první i druhou polici to platí (1 = 3^{0}, 3 = 3^{1}) a nyní si dokážeme, že to bude platit i dále. Předpokládejme, že na k-té polici je číslo 3^{k-1}, a zároveň, že na (k+1)-ní polici je číslo 3^{k}. Chceme ukázat, že na (k+2)-hé polici je 3^{k+1}. Ze zadání víme, že číslo na (k+2)-hé polici je 3^{k} + 6 \cdot 3^{k-1} = 3^{k} + 2 \cdot 3^{k} = 3^{k} \cdot (1+2) = 3^{k+1}. A protože tvrzení platí pro k = 1, k = 2, tak víme, že platí i pro k = 3, a protože platí pro k = 2 a pro k = 3, tak platí i pro k = 4, a takto můžeme pokračovat až do nekonečna, takže tvrzení platí pro všechna přirozená čísla.

Takže na 43. polici je číslo 3^{42} = (3^{14})^{3}, na 43. polici je tedy číslo, které je třetí mocninou.

Komentář: Většina řešitelů přišla na to, že číselnou řadu tvoří mocniny tří, ale jen zhruba polovina z nich napsala obecný důkaz. Absence tohoto důkazu byla nejčastější chybou. Obecně v matematice nemůžeme prohlásit, že tvrzení je platné, aniž bychom měli důkaz. A jako důkaz opravdu nemůžeme počítat, že pokud něco platí pro pár prvních hodnot, bude to platit i dále.

Úloha č. 5

„Bába měla krychli složenou z menších krychliček. Celý její povrch nalakovala. Jak tak koukám, dráčeti ten lak chutnal, tak snědlo všech 488 nalakovaných krychliček,“ vysvětlila Terka. Z kolika krychliček byla poskládaná původní krychle?

Řešení: Označme a počet krychliček na hraně krychle. Pak počet krychliček na povrchu odpovídá rozdílu počtu krychliček v krychli s hranou a a počtu krychliček v největší možné krychli, co je celá uvnitř této krychle, tedy krychle s hranou a - 2. Ze zadání pak tedy platí:

Kořeny této rovnice jsou a = 10 a a = -8. Počet krychliček na hraně krychle je ale jistě nezáporný a na hraně krychle tedy musí být jedině 10 krychliček. Původní krychle byla tedy poskládána z 10^{3} = 1000 krychliček.

Komentář: Většina řešení byla správná. Možných postupů vedoucích ke správnému řešení bylo více (například přes výpočet rovnice 2a^{2} + 2a(a - 2) + 2(a - 2)^{2} = 488) . Nejdůležitější bylo si uvědomit, že počet nalakovaných krychliček neodpovídá povrchu krychle, protože v něm jsou nějaké krychličky započítané vícekrát. Hodně řešitelů se úlohu snažilo řešit metodou pokus-omyl.

Úloha č. 6

Terce zbyly úlomky pláště, které se pokusila dát do úhledných hromádek. Když je ale dala na hromádky po deseti, zbyly jí tři navíc. Když je dala na hromádky po sedmi, zbyly jí dva, když po devíti, zbyl jeden. Pak to Terku přestalo bavit a řekla si, že jich je míň než 500 a víc ji teď nezajímá. Kolik úlomků pláště Terka měla?

Řešení: Počet úlomků označme n. Z rozdělování po deseti víme, že poslední cifra n je 3 a z rozdělování po sedmi víme, že n-2 je dělitelné sedmi. Číslo n-2 je tedy násobek 7 končící na 1. Rozdíl mezi každými dvěma takovými čísly je dělitelný 7 i 10 a nejmenší z nich je 21, takže n-2 lze zapsat jako součet 21 a nějakého násobku 70.

Číslo n-1 je o jedna větší, takže lze zapsat jako součet 22 a nějakého násobku 70, takže je buď 22, 92, 162, 232, 302, 372, nebo 442. Větší být nemůže, protože n je menší než 500. Z rozdělování po 9 víme, že 9 dělí n-1. Zbytek po dělení 9 se rovná zbytku ciferného součtu po dělení 9, takže zbytky vypsaných čísel jsou stejné jako zbytky (ve stejném pořadí) 4, 11, 9, 7, 5, 12 a 10. Jediný násobek 9 mezi těmito čísly je 9, což odpovídá n-1=162 a n=163. Můžeme ověřit, že 163 skutečně vyhovuje, takže se jedná o hledaný počet úlomků.

Komentář: Postupy podobné tomuto úspěšně využilo mnoho řešitelů. Našla se ale i řešení, která používala v jistém smyslu elegantnější postup, který vyžaduje méně zkoušení možností a počítání s velkými čísly:

2. řešení (počítání s velkými čísly):  Počet úlomků si opět označme n. Z rozdělování po devíti víme, že 9 \mid n-1 (tento zápis znamená 9 dělí n-1), takže n = 1 + 9a pro nějaké celé číslo a. Dále 7\mid n-2=9a-1, takže 7\mid 2a-1 a tedy a=4+7b pro nějaké celé b. Dohromady n=1+9\cdot (4+7b)=37+63b. Z rozdělování po deseti víme, že 10\mid n-3=34+63b, takže 10\mid 4+3b. Z toho b=2+10c pro nějaké přirozené c, takže n=37+63\cdot (2+10c)=163+630c.

n=163+630c je přirozené číslo menší než 500 právě když c=0. Tomu odpovídá n=163, takže počet úlomků musel být 163.

Komentář: Pro formální zdůvodnění kroků jako „7\mid 2a−1, takže a=4+7b pro nějaké celé b“ je zapotřebí mírně pokročilejší porozumění dělitelnosti a zejména zbytkům po dělení. Toto porozumění odemyká velkou a zajímavou kapitolu matematiky, o které se můžete dozvědět více například na akcích Pikomatu.

Úloha č. 7

Byl to komolý pravidelný čtyřboký jehlan, jehož spodní podstava měla hranu délky 10\,{\rm cm}, horní 4\,{\rm cm} a délka boční hrany byla 5\,{\rm cm}. Jaká byla jeho výška?

Řešení: Při řešení úlohy využíváme znalosti Pythagorovy věty. Jako první si uděláme náčrtek (obr. vz271) a všimneme si čtyřúhelníku ACGE. Protože se jedná o řez přes úhlopříčky v pravidelném komolém jehlanu, ACGE je rovnoramenný lichoběžník. Jeho výška je naše hledaná výška komolého jehlanu. Zatím v něm ale neznáme jen délku ramen. Tudíž si pojďme spočítat délky zbylých stran. Podstavy jehlanu jsou čtverce, tudíž můžeme použít Pythagorovu větu a spočítat si délky jejich uhlopříček:

Protože podstavy jsou vycentrované, úhlopříčky se při pohledu shora překrývají. Označme patu kolmice z vrcholu E písmenem P. Ta nám vyjde na úhlopříčku AC. Tím o bodu P máme dost informací a můžeme spočítat

Nyní máme dost informací, abychom opět pomocí Pythagorovy věty spočítali výšku trojúhelníku APE:

Výška komolého jehlanu je tedy \sqrt{7}\,{\rm cm}.

Komentář: Úloha se dala řešit více způsoby. Jednak pomocí jiných lichoběžníků, ve kterých se daly dopočítat strany. Alternativně šlo doplnit těleso na jehlan a následně počítat pomocí podobností. Odevzdaná řešení byla většinou správná. Nejčastější chyba byla v odmocňování výrazů, kdy pak celý výpočet probíhal s nepřesnými čísly, a tudíž nevyšel správný výsledek.

Opravovali: 1. Magdaléna Mišinová, 2. Helena Muchová, 3. Matouš Cimala, 4. Erik Ježek, 5. Veronika Menšíková, 6. Tomáš Flídr, 7. Eliška Vítková.