Vzorová řešení a komentáře k 1. sérii

Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.

Zadání naleznete zde.

Úloha č. 1

Například během odříkávání jednoho zaříkadla bylo potřeba si všemi možnými způsoby obléct černou, šedou, bílou a červenou rukavici, modrý, zelený a žlutý prsten a 4 různé čepice, aby na sobě měl člověk vždy právě jednu rukavici, jeden prsten a jednu čepici. Nesmí na sobě ale mít naráz šedou rukavici a zelený prsten. Kolik způsobů oblečení je potřeba během zaříkání vystřídat?

Řešení: Nejdříve spočítáme všechny způsoby oblečení, od kterých následně odečteme způsoby, které nesmí nastat (tedy má na sobě šedou rukavici a zároveň zelený prsten).

Potřebujeme nakombinovat čtyři různé rukavice se třemi různými prsteny a zároveň se čtyřmi různými čepicemi. Můžeme tedy vybrat ze čtyř rukavic a k nim ze třech prstenů. Počet způsobů, jak to udělat, bude 4 \cdot 3. Každé takto vzniklé dvojici (rukavice a prsten) můžeme vybrat jednu ze čtyř čepic. Počet všech způsobů oblečení je tedy (4 \cdot 3) \cdot 4 = 48. Když počítáme způsoby oblečení, které nesmí nastat, vybíráme pouze z jedné (šedé) rukavice, jednoho (zeleného) prstenu a ze čtyř různých čepic. Počet způsobů, které nesmí nastat, je tedy 1 \cdot 1 \cdot 4 = 4. Toto jsou způsoby, které musíme odečíst z celkového počtu způsobů.

Během zaříkání je třeba vystřídat 48 - 4 = 44 způsobů oblečení.

Komentář: Úloha byla spíše jednodušší, většina řešitelů tedy získala plný počet bodů. Ke strhávání jsme přistupovali jen tehdy, když řešitelé dostatečně nevysvětlili svůj postup řešení, špatně si opsali zadání nebo bez odůvodnění napsali pouze výsledek úlohy. K těmto případům ale naštěstí nedocházelo příliš často.

Úloha č. 2

Terka s bábinou pomocí upekla kruhový koláč o průměru 40 centimetrů. Pak se ale ukázalo, že je potřeba ho dát na obdélníkový plech o rozměrech 30 \times50 centimetrů. Terka musela část koláče sníst, aby se na plech vešel. Sníst z něj mohla jen nějakou kruhovou výseč, protože se jí ale do jezení vlastního výtvoru moc nechtělo, snědla z něj nejmenší možnou část. Jaký byl úhel této výseče?

Řešení:  Nejdříve si nakreslíme obrázek plechu s koláčem. Plech má tvar obdélníku o stranách dlouhých 50 {\,\rm cm} a 30 {\,\rm cm} -- označíme si jej body A, B, C a D. Delší strany jsou AB a CD, kratší strany jsou AD a BC. Koláč má tvar kruhu o poloměru 20 {\,\rm cm}. Koláč položíme na plech tak, aby se dotýkal delší strany AB právě v jediném bodu F a aby nepřečníval přes kratší strany. Strana AB je v bodu F tečnou koláče. Střed koláče si označme jako S. Místa, kde okraj koláče přetíná stranu CD a přečnívá přes okraj, si označme jako I a J. Dále si vyznačíme bod G, který leží na průsečíku kružnice a přímky FS. Jako bod H si označme průsečík FG a CD (obr. vz121).

Jelikož známe délku úsečky |FS| = 20 {\,\rm cm} (poloměr koláče) a |FH| = 30 {\,\rm cm} (šířka plechu), můžeme spočítat, že |SH| = 10 {\,\rm cm}. Dále délky úseček SJ a SI budou 20 {\,\rm cm}, jelikož se také jedná o poloměry koláče.

Zaměřme se na trojúhelník HSI. Je to pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem u bodu H. Jeho délky stran jsou |SH| = 10 {\,\rm cm} a |SI| = 20 {\,\rm cm}. Tedy |SH| je poloviční oproti |SI|. Povšimněme si také trojúhelníku GSI. Tento trojúhelník má stranu |SI| = 20 {\,\rm cm} společnou s trojúhelníkem HSI a délku strany |SG| = 20 {\,\rm cm}. Úsečka HI musí být jeho osou, jelikož lehce spočítáme, že |GH| = |SH|. Z osové symetrie pak vyplývá, že strana GI je stejně dlouhá jako strana SI, tedy |GI| = 20 {\,\rm cm}. Protože všechny strany trojúhelníku GSI jsou dlouhé 20 {\,\rm cm}, je tento trojúhelník rovnostranný, a proto |\angle(GSI)| je 60^\circ. Obdobně můžeme odvodit, že trojúhelník GJS je také rovnostranný a |\angle(GSJ)| je také 60^\circ.

Terka proto snědla výseč s úhlem 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ.

2. řešení pro řešitele se znalostí goniometrických funkcí:  Mějmě stejný obrázek a značení jako výše. Opět se podívejme na trojúhelník HSI s pravým úhlem při vrcholu H. Víme, že |SH| = 10 {\,\rm cm} a |SI| = 20 {\,\rm cm}. K vypočtení úhlu HSI využijeme goniometrickou funkci kosinus.

Platí tedy \cos(\angle(HSI))=|SH|/|SI| =10 {\,\rm cm}/20 {\,\rm cm}=0,5 \Rightarrow |\angle(HSI)|=60^\circ.

Tento samý postup i goniometrická funkce platí i pro trojúhelník HSJ. Proto i |\angle(HSJ)| = 60^\circ.

Proto Terka doopravdy snědla výseč s úhlem 120^\circ.

Komentář: Úloha byla jedna z jednodušších, proto většina řešitelů získala plný počet bodů. Někteří řešitelé počítali s úsečí místo výseče, kterou jsme měli zadanou, a někteří nezdůvodnili, proč vzniklý trojúhelník je rovnostranný a že tedy úhly v něm jsou 60^\circ.

Úloha č. 3

Bába vytáhla papír se šestiúhelníky a několika čísly jako na obrázku zad131. Mají se vyplnit čísly od 1 do 19 tak, aby v každém sloupci a na každé diagonále byl součet 38. Jak to má Terka udělat?

Řešení: Většina řešitelů úlohu řešila jako sudoku, tedy vyplňováním políček postupně. Při tomto postupu ale bylo třeba velmi podrobně zdůvodňovat, proč jaké číslo kde musí být a snadno jsme nedávali plný počet bodů. V menšině byla řešení, která postupovala příměji, například Marie Onderkové, které použilo jednu proměnnou x a s její pomocí se dalo vyplnit hned několik míst. Proto uvedeme jednak řešení, ve kterém si pečlivě zdůvodníme každý krok, i toto kratší řešení s proměnnou x.

Řešení s postupným vyplňováním:  Budeme využívat vlastností, že každé číslo od 1 do 19 musí v tabulce být právě jednou a že na každém sloupci i obou diagonálách je součet 38, to s vyplněnou částí čísel stačí k jednoznačnému výsledku. Pro snazší popis si políčka označíme takto a doplníme hned 14, abychom šetřil místem (obr. vz131).

První, co můžeme, je podle diagonály \alpha doplnit 14 (38 - 9 - 15). Další vyplnění je složitější, protože je třeba hned zapojit několik podmínek, my začneme třeba sloupcem D, který má mít také součet 38 a protože tam je jen 6 na zbývajících dvou políčkách, musí být dohromady 32. To jde z čísel do 19 jen třemi způsoby 32 = 17+15 (15 už je použitá, takže tento součet to nebude), 32 = 18+14 (14 je také použitá, takže tam nebude) a 32 = 19+13 -- který to musí být. Ještě zbývá zdůvodnit, kde bude 13 a kde 19. To nám rozhodne první diagonála, protože 38 - 15 - 19 = 4, kterou už v tabulce máme, takže na první diagonále musí být 13, nahoře potom 19 (obr. vz132).

Další doplňování je podstatně jednodušší.

• Do diagonály 1 doplníme 10 (38 - 15 -13 = 10),
• do diagonály \epsilon doplníme 16 (38 - 3 - 19 = 16),
• na sloupec e doplníme 12 (38 - 10 - 16 = 12),
• do diagonály 2 doplníme 8 (38 - 14 - 4 - 12 = 8),
• do diagonály 3 doplníme 6 (38 - 9 - 5 - 2- 16 = 6),
• na sloupec c doplníme 7 (38 - 15 - 8 - 5 - 3 = 7),
• do diagonály \beta doplníme 11 (38 - 6 - 8 - 13 = 11),
• na sloupec a doplníme 18 (38 - 9 - 11 = 18),
• do diagonály \gamma doplníme 1 (38 - 18 - 5 - 4 - 10 = 1),
• do diagonály \delta doplníme 17 (38 - 7 - 2 - 12 = 17).

Tímto postupem jsme vždy měli právě jednu možnost, které číslo na dané místo napsat, takže úloha má pouze jedno řešení a to obr. vz133.

Řešení s použitým x:  Další varianta byla místo vylučování čísel, které bylo v předchozím postupu, dát místo jednoho čísla x a ostatní v závislosti na něm doplnit. Pokud jsme tedy na D1 dali x a ostatní diagonály a sloupce dopočítali do 38, vyšla by nám tabulka jako na obr. vz134.

Zbývá určit x. O x víme, že je alespoň 13 (jinak by x - 12 nebylo mezi 1 a 19) a maximálně 16 (jinak by 3 + x nebylo mezi 1 a 19). A zbytek možností nejsnáze vyloučíme jednotlivě, z čísel 13, 14, 15, 16 nemůže x být 14 ani 15, protože se v tabulce vyskytuje i samotné x a ty už jsou obsazené, ani 16, protože potom by x - 12 byla čtyřka, která už je také obsazená. Takže jediná možnost pro x je 13 a doplníme tabulku podle obr. vz133.

Komentář: Jak už jsem zmínil na začátku úlohy, většina řešitelů vyplňovala tabulku jako sudoku, ale bodovali jsme je celkem přísně, takže pokud nevypsali vůbec žádný postup, dostávali řešitelé pouze dva body. Více bodů dostávali podle zdůvodnění svého vyplňování.

Úloha č. 4

Záchytný plášť lapače má tvar pyramidy se čtvercovou podstavou, jejíž zbylé stěny jsou rovnostranné trojúhelníky. Každá hrana pyramidy má délku 20 {\,\rm cm}. Do pyramidy je vloženo jádro ve tvaru krychle tak, aby jedna jeho stěna ležela na podstavě pyramidy a vrcholy protější stěny ležely na hranách bočních stěn pyramidy. Zjistěte objem krychle, aby ho mohly bába s Terkou vyrobit.

Řešení: Jako první si načrtněme danou situaci. Označme si podstavu body A, B, C, D a vrchol pyramidy jako V. Vrcholy krychle si označme body E, F, G, H, I, J, K, L a střed dolní podstavy krychle jako S. Jednu hranu krychle si označme jako a. Pyramidu s krychlí můžeme vidět na obrázku vz141.

Všechny boční hrany mají délku 20 {\,\rm cm} a boční stěny pyramidy jsou rovnostranné trojúhelníky. Z toho vyplývá, že hrana podstavy, což je čtverec, má také délku 20 {\,\rm cm}. Jako první si vypočtěme délku úhlopříčky AC podstavy této pyramidy. Podstavou je čtverec, tedy úhlopříčka AC dělí čtverec na dva pravoúhlé a rovnoramenné trojúhelníky. Délku |AC| spočteme pomocí Pythagorovy věty. Platí pro ni |AC|^{2}=|AB|^{2}+|BC|^{2}, kde |AB| a |BC| je 20 {\,\rm cm}. Ve výsledku dostaneme |AC|=\sqrt{|AB|^{2}+|BC| ^{2}} =\sqrt{(20 {\,\rm cm})^{2}+(20 {\,\rm cm})^{2}}=\sqrt{800} {\,\rm cm}.

Nyní si všimněme trojúhelníku ACV, který najdeme na obrázku vz142.

Tento trojúhelník je rovnoramenný, protože jeho ramena jsou tvořena bočními hranami pyramidy a ty mají 20 {\,\rm cm}. Bod S, který leží na úsečce AC, je jejím středem a tudíž dělí trojúhelník ACV na 2 pravoúhlé trojúhelníky ASV a SCV s pravým úhlem při vrcholu S. Úsečka SV je výškou pyramidy, jejíž délku si vypočteme. Použijeme k tomu pravoúhlý trojúhelník ASV, kde |AS| je polovina úhlopříčky |AC|, tedy |AS|=\sqrt{800}/2 {\,\rm cm} a |AV|=20 {\,\rm cm} (je to boční hrana). Opět platí Pythagorova věta a délku stranu |SV| vypočteme. Platí pro ni |SV|^{2}=|AV|^{2}-|AS|^{2}, tedy

Všimněme si jednoho poznatku, který nám pomůže k dořešení úlohy. Znovu se vraťme k trojúhelníku ASV. Na jeho straně AS leží také bod E a na straně AV leží bod I. Vznikne tak nový pravoúhlý trojúhelník AEI, kde |IE|=a. Trojúhelník je na obrázku vz143.

Trojúhelníky ASV a AEI jsou podobné. Popišme si délky jednotlivých stran. Již dříve jsme vypočetli, že |AS|=\sqrt{800}/2 {\,\rm cm}. Strana ES je polovina úhlopříčky EG podstavy krychle, kterou je čtverec. Vypočítáme nejdříve délku |EG| opět pomocí Pythagorovy věty a dostaneme |EG|^{2}=a^{2}+a^{2}, tedy |EG|=\sqrt{2a^{2}}=a\sqrt{2}. Pro |ES| bude platit |ES|=a\sqrt{2}/2 {\,\rm cm}, proto |AE|=|AS|-|ES| = \sqrt{800} -a\sqrt{2}/2 {\,\rm cm}.

Protože trojúhelníky ASV a AEI jsou podobné, bude poměr délek |AE| a |AS| stejný jako |IE| a |SV|. Proto platí |AE|/|AS| =|IE|/|SV|, tedy

Hrana krychle má délku a=20\over (\sqrt{2}+1) {\,\rm cm}. Objem pro krychli má vzorec V= a^{3}, kde za a dosadíme vypočtenou délku hrany. Objem krychle je

Komentář: Úloha vyšla jako jedna ze složitějších. Nejčastější chyba řešitelů byla, že si udělali obrázek s pohledem skrz boční stěnu pyramidy a skrz stěnu krychle, avšak tyto stěny nejsou rovnoběžné. Dát je do jednoho obrázku je pak velmi složité, beze změny rozměrů to totiž neplatí. Proto velice chválím ty, co úlohu úspěšně vyřešili \buildrel .~.\over \smile .

Úloha č. 5

Bába u každé části výroby určí, kolik nejvýše bodů za ni Terce dá. Terka je se sebou spokojená, když dostane od báby aspoň 80\,\% z celkového počtu bodů. Zatím udělala čtyři části jádra, za každou mohla dostat 30 bodů. Získala z nich ale celkem jen 75 bodů. Ještě zbývá dát všechno dohromady, výsledný výtvor pak bába ohodnotí nejvýše 45 body. Kolik nejméně bodů za výsledný výtvor Terka musí získat, aby se sebou byla spokojená?

Řešení: Nejprve zjistíme, kolik bodů musí Terka celkem získat, aby se sebou byla spokojená. Poté od tohoto počtu odečteme počet bodů, které již získala, čímž dostaneme počet bodů, které ještě musí získat.

Maximálně může získat 4 \cdot 30 bodů za jádro plus 45 bodů za výsledný výtvor, celkem tedy 165 bodů. Bude se sebou spokojená, pokud získá alespoň 80\,\% z celkového počtu bodů, což je 165 \cdot 0{,}8 = 132 bodů.

Zatím získala 75 bodů za jádro. Za výsledný výtvor tedy potřebuje získat alespoň 132 - 75 = 57 bodů. To je ovšem více než 45 bodů, které může za výsledný výtvor získat. Terka se sebou tedy spokojená nebude.

Komentář: Úloha byla jedna z jednodušších, většina řešitelů dostala plný počet bodů. Nejčastější chybou bylo nepozorné čtení zadání, kdy řešitelé odpovídali na jinou otázku, než jakou pokládalo zadání.

Úloha č. 6

Jindra přemýšlí o třech přirozených číslech. Největší z nich je 38. Zbylá dvě jsou taková, že nejmenší společný násobek všech tří čísel je největší možný. O kterých číslech Jindra přemýšlí?

Řešení: Jindra přemýšlí o číslech 35, 37 a 38. Abychom to dokázali, budeme muset nejprve určit jejich {\rm nsn} (nejmenší společný násobek), a poté dokázat, že jiná kombinace čísel už nám větší {\rm nsn} nedá.

V rámci určování {\rm nsn} se nám bude hodit pozorování, že pokud jsou všechna čísla v nějaké n-tici(pozn. pod čarou: n-tice je skupina n prvků, např. pro n = 2 to je dvojice, pro n = 3 trojice apod.) navzájem nesoudělná, tak je jejich {\rm nsn} roven jejich součinu. Toto pozorování získáme ze dvou odhadů: jednak, že {\rm nsn} je větší nebo roven součinu, druhak, že součin je větší nebo roven {\rm nsn}. Pokud tyto dva odhady dokážeme, pak již bude rovnost dokázána -- číslo totiž musí být zároveň větší nebo rovno a menší nebo rovno, tudíž musí být rovno.

Nejprve dokážeme první odhad. Protože jsou tato čísla nesoudělná, platí, že prvočíselný rozklad {\rm nsn} musí obsahovat všechny členy prvočíselných rozkladů každého z čísel. A uvažované prvočíselné rozklady obsahují navzájem pouze různé prvky. Pokud tedy budeme do košíku postupně házet všechny prvky prvočíselných rozkladů, tak získaná množina prvků bude nutně muset být součástí prvočíselného rozkladu {\rm nsn}. Tedy {\rm nsn} bude nutně muset být násobkem součinu těchto prvků. A součin těchto prvků je roven součinu uvažovaných čísel. Proto {\rm nsn} je roven alespoň součinu těchto čísel, z čehož plyne první odhad.

Druhý odhad je důsledkem faktu, že součin daných čísel již je jejich společným násobkem. Čili ten společný násobek, který je nejmenší, už větší být nemůže -- jinak by nebyl nejmenší.

Nejmenší společný násobek čísel 35, 37 a 38 tedy určíme jako součin těchto čísel, což je 35 \cdot 37\cdot 38 = 49\,210. Ještě ale musíme dokázat, že pokud bychom vybrali jiná tři čísla, tak jejich nejmenší společný násobek již větší nebude.

Pokud by si Jindra myslel nějaká tři čísla jiná než 35, 37 a 38, tak by jejich součin musel být větší než 35\cdot 37\cdot 38. Z čehož nám plyne, že žádné číslo menší než 35 už si myslet nemůže. Pokud by si totiž nějaké takové myslel, pak bychom všechna taková mohli vyměnit za chybějící čísla z množiny \lbrace35, 37\rbrace, čímž bychom {\rm nsn} zvětšili.

Zbývá si rozmyslet, že si určitě nemyslí číslo 36. Využijeme toho, že 36 i 38 jsou dělitelná dvojkou. Kdybychom totiž místo 35 či 37 vzali 36, pak bychom {\rm nsn} snížili 35 či 37krát, ale zvětšili pouze 16krát. Čili bychom opět dostali nižší {\rm nsn} než 49\,210.

Komentář: Téměř každý řešitel správně uvedl kombinaci 35, 37 a 38, ale skoro nikdo správně nezdůvodnil, proč tato kombinace opravdu dává maximální {\rm nsn}. Proto jsme strhávali body, pouze pokud byla nějaká úvaha zcela zřejmě nesprávná, anebo pokud nebyl postup odůvodněný vůbec.

Častou chybou bylo například předpokládat, že hledaná trojice čísel musí být nutně taková, kterou získáme „braním všeho, na co přijdeme.“ Neboli postupem od čísla 38 dolů a braním vždy jen těch čísel, v jejichž prvočíselném rozkladu není žádná shoda s těmi prvočísly, co můžeme nalézt v prvočíselných rozkladech těch čísel, která jsme již zvolili. V tomto případě sice tento postup ke správnému výsledku vedl: 38 máme zadanou, 37 je prvočíslo, takže s 38 nesoudělné, takže ho bereme. Dále 36 je s 38 soudělná, takže ji nebereme, a 35 je s 37 i 38 nesoudělná takže ji bereme.

Obecně ale ke správnému řešení vést nemusí. Představme si třeba, že by si Jindra myslel čísla čtyři, a že největší by bylo 31. Potom bychom podle tohoto postupu zvolili nejprve číslo 30. S ním i s číslem 31 je nesoudělné i číslo 29, takže bychom ho také zvolili. Dále na základě soudělnosti s 30 odmítli 28 (sudé), 27 (dělitelné třemi), 26 (sudé), 25 (dělitelné pěti), 24 (sudé). Až bychom nakonec vzali číslo 23, které je s 31, 30 i 29 nesoudělné. Součin 31\cdot 30\cdot 29 \cdot 23 je ale jistě menší než součin čísel 31\cdot 29\cdot 28\cdot 27, která jsou také nesoudělná.

Úloha č. 7

Jedna z čar byla kružnice s poloměrem 6 {\,\rm cm}. Její střed si Jindra označil S. Na této kružnici byly dva body, které si označil A a B. Těmi totiž procházela jiná kružnice, která procházela i S a zároveň úsečka AB byl její průměr. Jak dlouhá je úsečka AB?

Řešení: Poněvadž úsečka AB je průměr kružnice, na které leží bod S, z Thaletovy věty vyplývá |\angle ASB|=90^\circ.

Jelikož je trojúhelník ABS pravoúhlý a známe dvě strany, z Pythagorovy věty dopočítáme třetí:

Výsledek lze částečně odmocnit.

Komentář: Příklad je lehký. Nejčastější chybou bylo neodůvodnění pravého úhlu. Hlavní věcí, která v úloze figuruje, je správné pochopení a využití Pythagorovy věty a Thaletovy věty.

Opravovali: 1. Beáta Havelková a Jan Škopek, 2. Jiří Preč a Adam Dřínek, 3. Rebeka Mayerová a František Steinhauser, 4. Jiří Preč, 5. Helena Nováková, Eliška Vimmerová a Magdaléna Nováková, 6. Antonín Hejný a Helena Muchová a Veronika Menšíková, 7. Vít Štěpánek.