Nástiny řešení 5. série
Nástiny řešení tentokráte bohužel vychází později, o to kratší však budou. Upozorňujeme, že za takovéhle řešení by plný počet bodů asi nebyl.
Úloha 1
Obsah celého lichoběžníku lze spočítat jako (|AB|+|CD|)\cdot v / 2, kde v značí výšku. Protože M je v polovině AD, je i v polovině výšky v. Pak obsah trojúhelníku ABM lze spočítat jako |AB|\cdot v / 2 a obsah trojúhelníku CDM jako |CD|\cdot v / 2. Po sečtení těchto dvou obsahů nám vyjde polovina celého lichoběžníku, druhou polovinu obsahu tvoří trohúhelník BCM. Poměr je proto 1:2.
Úloha 2
Vyjdeme z věty, že velikost středového úhlu je dvakrát větší než velikost obvodového úhlu. Pak velikost úhlu ADB je 66 stupňů, neb velikost úhlu ASB je 132 stupňů. A velikost úhlu BDC je 39 stupňů, protože velikost úhlu BSC je 78 stupňů. Sečteme a získáme velikost úhlu ADC rovnu 105 stupňům.
Úloha 3
Věk toho, co mluví, označme X. Věk toho druhého Y. Pak platí
Z levých stran dáme pryč pětku a pak druhou rovnici odečteme od první.
Přičteme šedesát, vydělíme čtyřmi a máme Y=15. Dosadíme do nějaké rovnice a máme X=95. Odpovědí je proto 95 let.
Úloha 4
Čísla rozložíme na prvočísla a vyškrtneme ta, která se opakují v různých číslech. Zbyde nám 2^5, 5^2, 7^2, 17. Protože tato mají dělit třetí mocninu hledaného čísla, pak samotné hledané číslo musí být dělitelné čísly 2^2, 5, 7, 17. Nejmenší číslo, které to splňuje, je 2380, což je ale více než tisíc. Murhak tedy asi není zrovna dobrý cvičitel draků.
Úloha 5
Rozdělme si slovo na dvě čísti, a to MUMU a RKAHO. Z druhé části můžeme libovolná písmena škrtnout, vzhledem k rozdílonosti písmen k první části máme zajištěnou platnost všech získaných možností. Je jich 2^5 = 32, aneb každé z pěti písmen se může libovoně rozhodnout, jestli se chce nechat škrnout nebo ne. Počet možností první části si prostě vypíšeme, budou to možnosti MUMU, MUM, MUU, MMU, UMU, MU, MM, UM, UU, M, U, nic. Těch je 12. Stačí teď jen vynásobit počet možností nezávislých částí a vyjde nám 384. Od výsledku ale musíme odečíst jedničku, protože po vyškrtnutí všech písmen už nám nezbyde nic, takže tuto možnost bychom neměli uvažovat jako vyslovitelné slovo. Výsledek je proto 383.
Úloha 6
Útvar si představíme jako mnohoúhelník, který má vrchol v každém mřížovém bodě, kterým hranice prochází. Vzorec pro výpočet součtu úhlů mnohoúhelníku je 180\cdot (n-2) stupňů, kde n je počet vrcholů. V našem případě je n=18. Každému vrcholu přiřadíme několik miničtverečků o straně půl čtverečku tak, aby jeden roh sdílely s daným vrcholem mnohoúhelníku a nepřekrývaly se. Vrchol, u kterého je 90 stupňů, dostane jeden miničtvereček, u 180 stupňů budou dva a u 270 stupňů budou tři.
Každému vnitřnímu bodu přiřadíme čtyři miničtverečky obdobným způsobem.
Povšimněme si, že celý útvar je přesně překryt miničtverečky. U hranice máme 180 \cdot (18 - 2) / 90 miničtverečků, tedy 8 čtverců.
Každý ze sedmi vnitřních dá jeden celý čtverec.
Tedy úplně každý takový útvar bude mít obsah přesně 15 čtverců.
Úloha 7
Uvažme kvádr značený tradičně od A do H a koště vedoucí z vrcholu A do vrcholu G. Označme |AB|=x, |BC|=y, |CG|=z. Protože má úhel ABF velikost 45 stupňů, pak určitě x=z. Protože úhel CBG má velikost 60 stupňů, tak si vzpomeneme na polovinu rovnostranného trojúhelníku a vidíme, že z=\sqrt{3} y.
Protože úsečka AC má délku jeden metr a délka úsečky AC jde spočítat také jako \sqrt{x^2+y^2}, kde ale přece x=\sqrt{3} y, spočítáme hned y=1/2\ {\rm m}.
Díky Pythagorově větě také víme, že délka koštěte je \sqrt{x^2+y^2+z^2}. Stačí už jen dosadit do proměnných a získáme, že délka koštěte je \sqrt 7 / 2\ {\rm m}.
