Nástiny řešení 4. série

Tradičně tu máme rychlá vzorová řešení. Povětšinou nejsou kompletní a nezískala by plný počet bodů. Ke zkontrolování výsledku ale postačí.

Úloha 1

Označme X množinu čísel, která si můžu myslet. Označme Y množinu čísel, která vnizkne z ciferných součtů čísel z množiny X. Ciferné součty čísel množiny Y jsou vždy rovny 3, takže množina Y může obsahovat pouze čísla 3, 12 a další vyšší (ty už pak ale vedou na tří- a víceciferná čísla).

Množina X pak na základě ciferných součtů smí obsahovat čísla 3 (jenom jednociferné), 12, 21, 30 (ta mají ciferný součet 3), 39, 48, 57, 66, 75, 84, 93 a další víceciferná čísla (ta mají ciferný součet 12).

Počet čísel, která si může myslet, je 10.

Úloha 2

Úlohu šlo pochopit dvěma způsoby. Změny byly obdélníkového, nebo trojúhelníkového charakteru.

Pro situaci s obdélníky nám vznikne rovnice x^2 \cdot \frac{140}{100} = (x + 20) \cdot (x - 6), protože původní území ABCD má obsah x^2, po rozšíření máme obdélník AEFD s obsahem (x + 20)\cdot x a po zkrácení máme obdélník GHFD s obsahem (x + 20) \cdot (x - 6)

Po úpravě máme x^2 - 35x + 300 = 0. Vypravíme se hledat celočíselná řešení. Každý člen (kromě prvního) je dělitelný pěti, proto i x^2 bude dělitené pěti a tedy i x bude dělitelné pěti. Zapíšeme proto x=5y a rovnici upravíme na (5y)^2 - 175y + 300 = 0. To upravíme na y^2 - 7y + 12 = 0. Jde vidět řešení pro y = 3. Z toho pak máme (y-3)(y-4)=0. Dopočítáme x=15 nebo x=20.

Pro situaci s trojúhelníky k původnímu čtverci ABCD přidáme trojúhelník BEC s obsahem \frac{20\cdot x}{2} a pak od něj odebereme trojúhelník AFD s obsahem \frac{6 \cdot x}{2}. Máme tak rovnici x^2 \cdot \frac{140}{100} = x^2 + \frac{20\cdot x}{2} - \frac{6 \cdot x}{2}. Po úpravě dostaneme 2x^2 - 35x = 0. Zde najdeme řešení x=0 (které ale vyloučíme, protože zřejmě uvažujeme nenulové území) a dále x=17,5.

Úloha 3

Mapu si můžeme doplnit o několik bodů jako na obrázku. Vznikne obdélník CDEF a rovnostranné trojúhelníky ADC a BCF.

Délku AB získáme z pravoúhlého trojúhelníku ABS. Délka AS jest součet délek AG a GS. AG je výškou trojúhelníku ADC, takže má délku 900\ {\rm m}. GS je vlastně polovinou CF, takže má délku 450\ {\rm m}.

Délka AS je 1350\ {\rm m}. Délku BS získáme obdobně, je to 750\sqrt 3 \ {\rm m}. Délka AB je pak 300 \sqrt{39}\ {\rm m}. Prodloužení oproti nejkratší trase je pak 1800 + 1200\sqrt{3} - 300\sqrt{39} \ {\rm m}.

Úloha 4

Trojúhelník LMN je rovnoramenný, takže velikosti úhlů NLM a NML jsou 40^\circ. Úsekový úhel tětivy LM je tedy 40^\circ, přitom úsekový a obvodový úhel příslušný jedné tětivě se přece rovná. Proto i velikost úhlu MKL je 40^\circ. Z trojúhelníku KLM dopočítáme, že velikost úhlu KLM je 100^\circ. Výsledkem je pak 140^\circ.

Úloha 5

Jedničku uvažovat nemusíme, na tabuli zůstane až do konce, ale součin neovlivní.

Po Davidově mazání zbyla na tabuli právě všechna složená čísla od 2 do 1\,000\,000.

Po Tomově mazání zbyla na tabuli právě všechna složená čísla, která nemají nějakého svého dělitele mezi 2 a 100 nebo mezi 1\,000 a 10\,000.

Vynásobením čísla vyššího než 100 s číslem vyšším než 10\,000 získáme číslo větší než 1\,000\,000. Vynásobením tří čísel vyšších než 100 také.

Vynásobením jakýchkoli prvočísel mezi 100 a 1\,000 získáme právě čísla, která zbyla na tabuli pro Honzíka. Každé prvočíslo mezi 100 a 1\,000 se v Honzíkově součinu objeví právě tolikrát, kolik je prvočísel od 100 do 1\,000. Vyšlo mu tedy (součin prvočísel mezi 100 a 1\,000) na (počet prvočísel mezi 100 a 1\,000), což je mocninou (větší než první) nějakého přirozeného čísla.

Úloha 6

Označme cifry jako A, B, C, D.

Nejdřív případ, že jsou všechny cifry různé. Platí potom 106\,656 = 6\cdot A \cdot 1\,000 + 6\cdot A \cdot 100 + 6\cdot A \cdot 10 + 6\cdot A \cdot 1 + 6\cdot B \cdot 1\,000 + \dots

Pro každou cifru na dané pozici přece existuje šest čísel, kde prohazujeme ostatní cifry.

106\,656 = 6\cdot 1111 \cdot (A+B+C+D), tedy 16 = A+B+C+D. Aby bylo N co největší a zároveň neobsahovalo nuly, vybereme 9421.

Pro případ, že jsou dvě cifry stejné, nechť tedy C = D, platí 106\,656 = 3\,333 \cdot (A + B) + (2\,200 + 2\,020 + 2\,002 + 220 + 202 + 22) \cdot C. Pro A a B jsou tři možnosti v každé pozici, pro každou pozici dvojice cifer C jsou dvě možnosti. Pak A + B + 2C = 32 a největší číslo, které to splňuje, je 9986.

Pro případ, že jsou dvě a dvě cifry stejné, nechť tedy A=B a C=D, platí 106\,656 = (1100A + 11C) + (1010A + 101C) + (1001A + 110C) + (1100C + 11A) + (1010C + 101A) + (1001C + 110A). To znamená, že A+C = 32. To ale nejde, neb A a C jsou cifry menší než 10.

Pro tři stejné cifry, nechť B = C = D, platí 106\,656 = 1\,111 \cdot A + (111 + 1\,011 + 1\,101 + 1\,110) \cdot B. Pak A + 3B = 96. Takového součtu nejde docílit ani třemi devítkami a jednou osmičkou.

Čtyři stejné cifry už taky nevyjdou.

Největší číslo je tedy 9986.

Úloha 7

To, že jsou úhlopříčky na sebe kolmé, v našem případě znamená, že koncové body daných úlopříček tvoří čtverec.

Jedna stěna kvádru je čtvercová, nechť je to stěna ABCD. Výběr tělesových úhlopříček má dvě možnosti (ostatní jsou symetrické). Na druhém obrázku jsme vybrali DF a AG. Potom by ale pravoúhlý trojúhelník měl stejně dlouhou přeponu DG jako odvěsnu DC. To je nemožné.

Proto vybereme tělesové úhlopříčky DF a BH jako na prvním obrázku. Pak x=1\ {\rm m}, y=\sqrt{2}\ {\rm m} a povrch kvádru je 2\cdot 1 + 4\cdot \sqrt{2} \ {\rm m}.