Nástiny řešení 3. série
Chcete znát řešení úloh? Nástiny řešení jsou právě pro vás! Upozorňujeme, že nástiny řešení jsou sepsány docela z rychlíku a nejspíš byste za to nedostali plný počet bodů.
Úloha 1
Z cifer vynecháme jedničku, aby číslo nebylo dělitelné třemi, ale abychom měli co největší cifry. Budeme číslo tvořit od nejdůležitější pozice. Začneme devítkou, pak dáme sedmičku a pak osmičku, takže v této trojici bude sedmička nejmenší. Pak nemůžeme dát šestku, protože ve trojici 86x by šestka nebyla ani nejmenší ani největší. Výsledné číslo je 978563402.
Úloha 2
Čtverec má délku strany 4\ {\rm cm}. Takže úhlopříčka čtverce má z Pythagorovy věty délku 4\cdot \sqrt 2\ {\rm cm}. Úhlopříčka čtverce je zároveň i průměrem kružnice. Poloměr kružnice má pak délku 2\cdot \sqrt 2\ {\rm cm}. Střed kružnice je zároveň i těžiště trojúhelníka. Takže poloměr kružnice je třetinou těžnice trojúhelníka. Délka těžnice je pak 6\cdot \sqrt 2\ {\rm cm}. Těžnice je zároveň i výškou trojúhelníka. Pokud označíme délku strany trojúhelníka jako 2x, pak z pravoúhlého trojúhelníka tvořeného těžnicí, stranou trojúhelníka a polovinou strany trojúhelníka díky Pythagorově větě zjistíme, že platí 4x^2 = x^2 + (6\cdot \sqrt 2)^2. Pak x^2=24 a délka strany trojúhelníka je 2 \sqrt{24} = 4\sqrt 6\ {\rm cm} (stranu trojúhelníka jsme označili jako 2x).
Úloha 3
Dílek má tři krychličky. Každému dílku přidělíme jedno písmenko a rozkreslíme si pyramidu po patrech.
Úloha 4
Každý palindrom se sudým počtem cifer lze zapsat jako součet několika čísel tvaru 11, 1001, 100001, 10000001,\ \dots
Pokud by každé takovéto číslo bylo dělitelné jedenácti, pak by i součet těch čísel byl dělitelný jedenácti, a tedy i každý palindrom sudé délky by byl dělitelný jedenácti.
11=11\cdot 1, 1001 = 11\cdot 91, 100001 = 11\cdot 9091, 10000001 = 11\cdot 909091,\ \dots
Když totiž číslo 11 násobíme číslem tvaru 909090\dots 90, vznikne nám číslo tvaru 999999\dots 90. Ale my namísto čísla tvaru 909090\dots 90 používáme 909090\dots 91, což znamená, že k 999999\dots 90 nakonec přičteme ještě jednu jedenáctku a dostaneme tím požadované číslo 10000\dots 001.
Úloha 5
Pokud by yetti mluvil pravdu, pak by trpaslík lhal a upír mluvil pravdu. Trpaslíkova slova jsou ale pravdivá, protože yetti mluví pravdu.
Takže yetti lže. Pak tedy jeho slova nesmí platit a buď trpaslík mluví pravdu, nebo upír lže. Uvažme případ, že trpaslík mluví pravdu. Podle trpaslíkových slov musí platit, že upír mluví pravdu a trpaslík lže. Možnost splnění jeho slov tím, že by yetti mluvil pravdu, nelze, protože víme, že yetti lže. Jenomže trpaslík nesmí zároveň lhát i mluvit pravdu.
Druhá možnost je, že upír lže. Aby jeho slova nebyla splněna, ani upír ani yetti nesmí mluvit pravdu. To tak vskutku je.
Už víme, že nemůže nastat, aby trpaslík mluvil pravdu. Takže trpaslík lže. Jeho slova jsou opravdu lživá, protože yetti lže a i upír lže.
Všichni tři lžou.
Úloha 6
Tabulku obarvíme jako šachovnici. Do levého dolního rohu dáme třeba černou. Pak tam bude celkem 18 černých a 16 bílých políček. Figurka při každém kroku změní barvu políčka, na kterém se nachází. Pokud figurka vkročí na černé políčko, přidáme jedničku k číslu x, pokud vkročí na bílé, přidáme jedničku k číslu y. Před začátkem je x=y=0. Během cesty figurky střídavě přidáváme jedničku k x a y. Nikdy se tedy nebude x a y lišit o víc než jedna. Pro navštívení všech políček během jedné cesty bychom ale potřebovali, abychom skončili s x=18 a y=16. Takže to tedy nejde.
Úloha 7
Označme x počet mililitrů, které použijeme z kotlíku, a y počet mililitrů, které použijeme z pramínku. Musí platit rovnice 730 + x + y = 1000, protože celkem máme mít litr tekutiny. Zároveň musí platit 730 \cdot 22 + x \cdot 80 + y \cdot 10 = 1000 \cdot 37, protože nakonec máme mít 37stupňovou kapalinu. Z první rovnice dostaneme x = 270 - y, což dosadíme do druhé rovnice. A tak máme 16060 + (270 - y) \cdot 80 + y \cdot 10 = 37000, takže y = \frac{66}{7} a potom x = \frac{1824}{7}.
