Nástiny řešení 2. série
Nepodařilo se Vám pohnout s nějakou úlohou? Rádi byste se podívali, jak se měla řešit, ale nechcete čekat na vzorová řešení? Právě proto jsme pro Vás připravili tyto Nástiny řešení. Ale pozor! Jsou to pořád jenom nástiny, pro řešení se inspirujte u normálních vzorových řešení s výsledky a úplnými důkazy.
Úloha 1
Políčko může být kdekoli. Díky symetrické konstrukci stačí ověřit jenom pár políček v jednom rohovém čtverci 4 \times 4. Tři zbylé čtverce 4 \times 4 zakryjeme způsobem jako na prvním obrázku, navíc přidáme jedno L-triomino doprostřed. Poslední čtverec pokryjeme jako na druhém obrázku, můžeme ho otáčet a navíc si vybrat, jak dát do prázdného čtverce poslední L-triomino.
Úloha 2
Na obrázku označíme jednoduchou čárou stejné úhly v krajních trojúhelnících se stranami b,c,c. To, že jsou stejné, vyplývá z faktu, že trojúhelníky jsou rovnoramenné.
Dále označíme dvojitě přeškrtlou čárou stejné úhly ve velkém trojúhelníku.
Všimneme si, že oba označené úhly jsou jeden a ten stejný. Pak tedy velký trojúhelník je rovnostranný. Z toho vyplývá, že všechny jeho strany jsou stejně dlouhé, a+c=b+c a tedy úsečky a a c musí být stejně dlouhé.
Úloha 3
Bez podmínek na konkrétní čísla máme jen dvě možnosti:
- 1. číslo je nejmenší ze všech, 2. je největší, 3. je druhé nejmenší, 4. je druhé největší, ...
- 1. číslo je největší ze všech, 2. je nejmenší, 3. je druhé největší, 4. je druhé nejmenší, ...
Protože je ale 84. číslo větší než 222. číslo, zvítězila možnost a. Pak víme, že 83. číslo je menší než 2022., protože každé číslo na liché pozici je menší než každé číslo na sudé pozici.
Úloha 4
Číslo na n-té poličce označíme p_n. Ze zadání platí vzoreček: p_n = p_{n-1}+ 6 p_{n-2}.
Předpokládejme, že číslo na nějaké poličce jde zapsat jako 3^{k-2} a číslo na hned další poličce jde zapsat dokonce jako 3^{k-1}. Další polička pak bude:
Mocniny trojky kopírují vzoreček ze zadání. Protože čísla na 2. a 3. poličce jsou zapsat postupně jako 3^1 a 3^2, pak číslo na 4. poličce musí být 3^3. Takto lze pokračovat až do nekonečna. Nám však stačí, že číslo na 43. poličce je rovno 3^{42} = (3^{14})^3, což je třetí mocninou přirozeného čísla.
Úloha 5
Krychle, která má jednu hranu o počtu x krychliček, má celkem x^3 krychliček, z toho na povrchu je celkem 6 \cdot (x-2)^2 + 12 (x-2) + 8 krychliček (zvlášť počítáme krychličky podle počtu stěn, které mají na povrchu).
Vyřešíme rovnici 488 = 6x^2 -12x +8. Od obou stran odečteme 8, pak to celé vydělíme šesti a vyjde nám 80 = x^2 - 2x. Tipneme jeden výsledek x=10, druhý výsledek by byl x=-8, ale x musí být kladné. Počet kostiček krychle je 100.
Úloha 6
Označme x počet úlomků, pak x končí na cifru 3 a jde napsat jako 7m+2 a 9n+1, kde m,n jsou přirozená čísla nebo nula.
Číslo 9n končí na cifru 2, tedy n může být jenom 8,18,28,\dots Číslo 7m končí na cifru 1, takže m může být jenom 3,13,23\dots
Možností není moc, tak si je vypíšeme. Z 9n+2 máme 73, 163, 253, 343, 433 a z 7m+2 máme 23, 93, 163, 233, 303, 373, 443. Výsledkem je pouze číslo 163.
Úloha 7
Označme body jako na obrázku. Použijeme Pythagorovu větu na pravoúhlé trojúhelníky. Protože |EG| = 4\sqrt{2} a |AC|=10\sqrt{2}, tak |NC|=3\sqrt{2}. Pak |NG|=\sqrt{7}, což je výška daného jehlanu.
