Nástiny řešení 1. série

Nepodařilo se Vám pohnout s nějakou úlohou? Rádi byste se podívali, jak se měla řešit, ale nechcete čekat na vzorová řešení? Právě proto jsme pro Vás připravili tyto Nástiny řešení. Ale pozor! Jsou to pořád jenom nástiny, pro řešení se inspirujte u normálních vzorových řešení s výsledky a úplnými důkazy.

Zadání naleznete zde.

Úloha 1

Máme 4 druhy rukavic, 3 druhy prstenů a 4 druhy čepic. Zapomeneme na chvíli na další podmínky. Když se může kombinovat libovolná rukavice s libovolným prstenem, ke každé rukavici můžeme přidat každý prsten, bude to tedy 4\cdot 3 možností. Započítáme podmínku a bude to 4\cdot 3 - 1. A ke každé možnosti můžeme přidat libovolnou čepici, bude to (4\cdot 3 -1)\cdot 4 = 44 možností.

Úloha 2

Na plech položíme koláč tak, aby přiléhal až ke kraji delší strany plechu a nepřečuhoval přes kratší strany.

(A, B průsečíky, S střed koláče, M střed AB, P dotyk koláče na druhé straně)

|PM| =30,|SM|=30-|SP|=30-20=10

Překlopme bod S podle přímky AB a dostaneme bod T. Trojúhelník AST je rovnostranný, takže je úhel ASM roven 60^\circ. Situace je symetrická pro úhel MSB. Terka musela sníst výseč s úhlem 120^\circ.

Úloha 3

Jediné řešení:

Úloha 4

Označme ABCD podstavu, V vrchol pyramidy. Označme K vrchol krychle ležící na AV, L vrchol krychle ležící na BV. Dále označme S střed podstavy ABCD, M vrchol krychle ležící v podstavě, jakoby pod bodem K.

Označme x délku strany krychle. Pak x=|KM|=|KL|=|KV|, |KA|=20-x.

V pravoúhlém rovnoramenném trojúhelníku ABS platí |AB|^2=|SA|^2+|SB|^2, proto |SA|=10\sqrt{2}. V pravoúhlém trojúhelníku ASV pak platí |SV|=10\sqrt{2}.

Trojúhelník ASV je vlastně jenom zvětšeným trojúhelníkem AMK, použijeme úměru na odpovídající si délky stran.

Po úpravě dostaneme x=20\cdot (\sqrt{2}-1). Objem krychle je x^3=8000\cdot (5\sqrt{2}-7)\,{\rm cm}^3.

Úloha 5

Celkový počet bodů, které lze získat, je 4\cdot 30 + 45, Terka chce získat celkem 80 procent, což je 132. Už získala 75 bodů, chybí jí tedy ještě 57 bodů. Za výsledný výtvor je možno získat jen 45 bodů, takže Terka má smůlu. Měla se víc snažit už od začátku.

Úloha 6

Druhé číslo je 37, protože je to prvočíslo a výsledný nejmenší společný násobek se zvětší dokonce 37krát. Kdybychom jako třetí číslo volili 36, nejmenší společný násobek se zvětší jen 18krát - jednu dvojku z prvočíselného rozkladu už máme v 38. Tak jako třetí číslo vezmeme 35.

Úloha 7

První kružnici označme k, druhou m. Kružnice m je nad průměrem AB, pro S ležící na m proto platí, že je úhel ASB pravý. Víme, že je SA a SB poloměrem kružnice k, úsečky mají délku 6\,{\rm cm}. Z Pythagorovy věty pro trojúhelník ABS pak platí |AB|=\sqrt{6^2 +6^2}=6\cdot \sqrt{2}\,{\rm cm}.