Zadání 6. série 37. ročníku
Termín odeslání: 30. 5. 2022
Pravidla pro odevzdávání řešení najdete zde. O tom, jak řešení sepisovat, si můžete přečíst zde nebo se podívat na video.
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Po Achilleově smrti se do válečných debat začala mnohem víc zapojovat i jeho matka Thetis, která do té doby trávila většinu času ve svém podmořském paláci a na Olymp zavítala jen velmi zřídka. Teď jsem ji ale v jednom kuse viděl, jak si někde v rohu špitají s Athénou a dal bych ruku do ohně za to, že plánují nějakou lest proti Trójanům. Nikomu jinému ale nic neřekla, takže nám nezbývalo nic jiného než vymýšlet stále šílenější teorie. Jednou jsme strávili spoustu času řešením rovnice, kterou Athéna zapomněla na stole.
Úloha č. 1
Najděte všechny dvojice reálných čísel x, y, pro které platí
Nakonec jsme ale usoudili, že si z nás Athéna nejspíš jenom vystřelila a nechala tam ten papír ležet schválně a žádnou souvislost s válkou to nemá. Dia to ale nerozhodilo: „Byli jste v poslední době u Tróji? Kácejí stromy na nové lodě a už brzy odplují,“ prohlásil spokojeně. Poseidon se ušklíbl: „Lodě? Viděl jsi někdy loď? Nevím, co stavějí, ale lodě to rozhodně nejsou.“ „Mně přijde, že by to mohla být nějaká socha, třeba zvířete...“ navrhl jsem nejistě. Všichni se rozesmáli.
„A na co by jim asi byla v boji socha? To ses o válce ještě pořád nic nenaučil, Herme?“ „Třeba se už definitivně zbláznili,“ nadhodila se smíchem Afrodita. Pak si ale všimla Athény, která náš rozhovor překvapivě spokojeně sledovala, a trochu znejistěla. „Nemůže to být nějaká zbraň?“ obrátila se na Área. „Nesmysl, jsem bůh války, přece poznám zbraň.“
Bylo na něm ale vidět, že si není tak úplně jistý. Kdo ví, třeba Athéna opravdu vymyslela nějakou novou zbraň, pomocí které válku vyhraje. Chvíli jsme ještě přemýšleli, co by to mohlo být, až se nakonec Poseidon obrátil na Athénu: „Já se vzdávám Athéno, co to ti Řekové vyvádějí?“ Athéna se tajuplně usmála: „Uvidíte.“
Mně se ale čekat nechtělo, tak jsem se vypravil do Tróji. Odysseus zrovna vysílal k městu dva zvědy.
Úloha č. 2
Dva zvědové vyjeli na koni současně z tábora po stejné trase k městu a zpět do tábora se vrátili ve stejnou chvíli. Cestou občas odpočívali. První jel dvakrát tak dlouho, jako druhý odpočíval. Druhý jel čtyřikrát tak dlouho, jako odpočíval první. Kdo z nich jezdí na koni rychleji a kolikrát?
Do Tróji se mi už nechtělo, a tak jsem se radši vetřel na poradu, kterou pořádal Odysseus ve svém stanu. Hned jsem si všiml plánů na zdi a potěšilo mě, že jsem měl pravdu a opravdu staví sochu. Konkrétně sochu koně. Pořád mi ale nebylo jasné, jak chce Athéna dobýt město se sochou koně. Zatímco jsem přemýšlel, přišli do stanu oba zvědové a ohlásili, že brána je dost vysoká. „Výborně,“ prohlásil spokojeně Odysseus a začal vysvětlovat podrobnosti svého plánu.
„Kdy bude hotový kůň?“ obrátil se na závěr svého proslovu na vojáka v první řadě. „Máme téměř hotovo, jen potřebuju pomoct dopočítat rozměry posledního dílu.“
Úloha č. 3
Díl má tvar rovnoramenného trojúhelníku se základnou o délce 40\ cm. Víme, že těžnice na ramena jsou na sebe kolmé. Jak dlouhá jsou ramena?
Ohromen Athéninou vynalézavostí jsem se vrátil zpátky na Olymp. Řekové pod rouškou tmy odtáhli dřevěného koně k hlavní bráně, nasedli do lodí a odpluli. Alespoň prozatím...
Athénina lest nezaujala pochopitelně jenom mě a spousta bohů chtěla vidět předání koně na vlastní oči. Zeus, Áres a Afrodita byli přesvědčeni, že Trójani nejsou tak hloupí, aby si vzali do města něco od lidí, kteří se je snažili dobýt. Kdybych si ale měl vsadit já, přidal bych se na stranu Poseidona a Héry, kteří věřili, že Athénin plán vyjde. K Tróji jsme dorazili brzy ráno a zatímco jsme čekali, než si obyvatelé města všimnou koně stojícího před branami, prohlížel jsem si květináče, kterými měli ozdobené hradby.
Úloha č. 4
Na hradbách je 2022 květináčů poskládaných do řady. V prvním květináči je 10 květinek. Ve druhém květináči není žádná květinka. Pro každé i od 3 do 2022 platí, že pro každé kladné celé m a n, kde m+n=i, je v květináči na pozici i nejvýše tolik květinek jako v květináčích na pozicích m a n dohromady. Kolik květinek může růst v 2022. květináči? Napište všechny možnosti a ukažte, že žádné další nejsou.
Po chvíli se otevřela brána a z města vyšla malá skupinka lidí prozkoumat, co se jim to během noci objevilo u hradeb. Vysvětlit jim to měl muž s bílou vlajkou v ruce, který k nim právě přicházel: „Trójané! Řekové uznali neporazitelnost vašeho města a v noci odpluli. Já jsem starý muž, který by cestu zpátky nepřežil, a tak mě tu nechali, abych vám mohl předat tento dar od krále Agamemnóna. Doufá, že si tím nakloní bohy a ti mu umožní bezpečný návrat domů.“ Všichni vypadali promluvou starce uklidněni, začali překrásného koně obdivovat a už přemýšleli, jak ho nejlépe dopravit do města a kam ho tam postavit. Najednou ale vystoupil z davu věštec: „Neberte koně do města, Řekové jsou prohnaní a Agamemnónův kmen Danaů obzvlášť! Danajský dar přinese zkázu celého města!.“ Věštcova promluva část lidí znejistěla. Co když to opravdu není jen obyčejný dřevěný kůň? Ale na druhou stranu, přece nemůže obživnout, ne? Zatímco se Trójané dohadovali, napětí mezi bohy rostlo. Athéna ale najednou něco pošeptala Poseidonovi, ten se zasmál a luskl prsty. Z moře se najednou vynořili dva hadi, omotali se kolem věštce a zabili ho. „Vidíte, to je jasné znamení od bohů, věštec říkal nesmysl, vezměme koně do města!.“ zaznělo z davu Trójanů. Sice se pořád našlo pár lidí, kteří radili obezřetnost, ale zbytek hlasitě skandující: „My chceme koně! My chceme koně!.“ je snadno přehlušil. A tak odtáhli dřevěnou sochu doprostřed města, aby se na ni mohl každý dojít podívat, a zahájili velkolepé oslavy konce desetileté války.
Mě ale kromě koně zaujala kašna, vedle které ho postavili a které jsem si při svých dřívějších návštěvách nevšiml.
Úloha č. 5
V kašně je krychle ABCDEFGH stojící na vrcholu A a je zčásti ponořená pod vodou. Hrana AE je ponořena ze tří čtvrtin, hrana CG je ponořena z jedné poloviny a oba vrcholy B a D jsou pod vodou. Jaká část objemu krychle je pod vodou?
Mezi bohy mezitím vládla podstatně dusnější atmosféra. „Athéno! Tohle je pěkný podvod! Měla jsi je nechat, ať se rozhodnou sami,“ vykřikl naštvaně Áres. „Stejně by se tak rozhodli, já jsem to jenom trochu urychlila.“ „A co teď? Do noci se nic zajímavého dít nebude, co?“ zeptal jsem se. „Zahrajeme si domino!.“ navrhl Poseidon. „Ale chybí nám jeden dílek.“ Jako vždy nás zachránil Héfaistos: „Můžu ho vyříznout z téhle staré šachovnice.“
Úloha č. 6
Zadání bylo upřesněno
Šachovnice má rozměry 8\times 8, čtverečky jsou označeny čísly 1 až 64. Dominový dílek se skládá ze dvou čtverečků, které spolu sousedí hranou. Héfaistos chce z šachovnice vyříznout jeden dominový dílek. Z kolika možností si může vybrat?
Zatímco my jsme hráli domino, Trójané slavili. Oslavy se protáhly dlouho do noci, ale nakonec město utichlo. Na to čekal Odysseus a dalších dvacet vojáků, kteří se ukrývali v břiše dřevěného koně. Potichu vylezli a otevřeli brány do města zbytku armády. Ta neodplula úplně, jak se Trójané domnívali, ale schovávala se v blízkém zálivu a čekala, až jim dá starý muž, kterého nechali v táboře, zapálením ohně na pobřeží znamení k návratu.
Přemoci Trójany unavené přechozími oslavami byla už pro Řeky hračka a brzy mohli přikročit k rozdělování kořisti.
Úloha č. 7
Odysseus, Meneláos a Agamemnón si chtěli rozdělit truhlu plnou zlatých mincí. První k ní přišel Odysseus a chtěl mince rozdělit na třetiny, ale jedna mince přebývala. Tak si vzal třetinu a přebývající minci. Pak tam přišel Meneláos a také chtěl rozdělit zlato na třetiny, ale jedna mince přebývala. Vzal si proto třetinu a ještě tu přebývající. Po něm přišel Agamemnón a také chtěl rozdělit mince na třetiny, ale opět jedna přebývala. Vzal si tedy třetinu a jednu přebývající minci. Nakonec se tam sešli všichni tři a tentokrát už šlo rozdělit mince přesně na třetiny. Kolik nejméně mohlo být na začátku v truhle mincí?
Áres nakonec chtě nechtě musel uznat, že ho Athéna porazila. Sice si pak bohové neodpustili si s hrdiny trochu pohrát a znepříjemnit jim cestu domů, ale jinak se u nás brzy vše vrátilo do obvyklých kolejí. Já jsem se mohl vrátit ke svým obchodům, na Olympu se začaly místo válečných porad opět pořádat večírky a bohové se hádali už zase jen mezi sebou a přestali tahat do svých sporů lidi.
