Vzorová řešení a komentáře k 3. sérii

Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.

Zadání naleznete zde.

Úloha č. 1

Athéna má polovinu chrámů co Héra a Afrodita dohromady, Héra má třetinu, co Athéna a Afrodita dohromady. Afrodita má 150 chrámů. Kolik chrámů mají všechny tři bohyně dohromady?

Řešení: Počet chrámů, které má Héra, označíme H; počet chrámů, které má Athéna, označíme A; Afrodita má 150 chrámů. Ze zadání vyplývá tato soustava rovnic:

Roznásobením závorek získáme:

Teď do druhé rovnice dosadíme A, které máme vyjádřené pomocí H v první rovnici.

Už stačí jen dopočítat A.

Takže všechny tři bohyně mají dohromady 90+120+150=360 chrámů.

Komentář: Mnozí řešitelé postupovali podobně jako ve vzorovém řešení nebo k řešení soustavy rovnic používali jiné ekvivalentní úpravy. Některá řešení zkoušela výsledek přibližně odhadnout a potom najít vyhovující číslo, takový postup by ale při řešení obtížnějších úloh nefungoval nebo by byl hodně zdlouhavý.

Úloha č. 2

Na zemi je napsáno číslo 27. Paris a Hermes se střídají v odčítání 2^{k} od aktuálního čísla, kde k je přirozené číslo nebo 0. Nesmí se dostat do záporných čísel a ten, kdo první nemůže táhnout, prohrál. Kdo má výherní strategii?

Řešení: Ukážeme, že výherní strategii má druhý hráč.

Vyhrává ten hráč, po jehož tahu bude na zemi 0, neboť v ostatních případech vždy lze táhnout, například odečtením 2^{0} = 1. Dokážeme, že druhý hráč vždy dokáže zařídit, aby po jeho tahu zbyl násobek tří, a po tahu prvního hráče potom vždy zbyde něco jiného než násobek tří. Tím už bude důkaz hotov, protože 0 je násobek tří, tudíž musí zbýt po tahu druhého hráče, který proto vyhraje.

Víme, že 2^{k} není dělitelné třemi, takže pokud před tahem prvního hráče je číslo na zemi násobek tří, po jeho tahu nemůže být násobek tří. Má tedy zbytek 1 nebo 2 po dělení třemi. Tudíž druhý hráč může odečíst 2^{0} = 1 nebo 2^{1} = 2, aby se číslo opět změnilo na násobek tří. To je přesně to, co jsme chtěli. Nakonec si ještě uvědomíme, že před úplně prvním tahem je na zemi násobek tří, takže i po prvním tahu prvního hráče musí zbýt číslo, které násobkem tří není.

Komentář: Vzorovým způsobem úlohu řešilo poměrně málo řešitelů, takže ty, kteří to zvládli a také dobře zdůvodnili, velmi chválím. Ostatní úspěšná řešení určovala vyhrávající a prohrávající pozice nebo to nějakým způsobem rozebírala. Takový přístup byl v této úloze, kde bylo zadané konkrétní číslo, naprosto v pořádku. Kdyby ale bylo v zadání n místo 27, už by to nefungovalo. Protože napsat takovýto důkaz pořádně je obtížné, hodnotila jsem úlohu poměrně mírně. Doporučuji proto přečíst si vzorové řešení i těm, co získali plný počet bodů, aby zjistili, co se dalo udělat lépe.

Úloha č. 3

V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C si patu výšky z C označíme jako D (D je tedy takový bod na AB, že CD je kolmé na AB). Bod P leží na AB a zároveň na ose úhlu BCD. Dokažte |AP|=|AC|.

Řešení: Chtěli bychom dokázat, že je trojúhelník APC rovnoramenný se základnou CP. K tomu nám bude stačit zjistit, že platí |\angle ACP| = |\angle APC|.

Označme si velikost úhlu DCP jako \varphi. Protože P leží na ose úhlu DCB, tak i velikost úhlu PCB je rovna \varphi (Obr. vz331).

Úhel při vrcholu C je pravý (tedy má 90^\circ), a proto |\angle ACP|=|\angle ACB|-|\angle PCB| = 90^\circ -\varphi.

V každém trojúhelníku je součet vnitřních úhlů roven 180\deg. Pro trojúhelník CDP to znamená, že |\angle CPD|=180^\circ - 90^\circ - \varphi=90^\circ - \varphi.

Přesně jak jsme chtěli, máme |\angle ACP| = |\angle APC|. Tedy trojúhelník APC je rovnoramenný a délky jeho ramen se rovnají. Dokázali jsme, že |AP|=|AC|.

Komentář: Přišla spousta krásných řešení. Méně obvyklý způsob řešení vedl přes soustavu rovnic, která vznikla ze sčítání úhlů v trojúhelnících. Postup je to samozřejmě správný, často ale bývá jednodušší vyjádřit si potřebné úhly pouze pomocí jednoho úhlu a stupňů.

Úloha č. 4

Může pravidelný čtyřstěn vrhat čtvercový stín? (Slunce vrhá rovnoběžné paprsky kolmo k podložce; čtyřstěn nemusí na podložce stát -- může levitovat.)

Řešení: Plášť pravidelného čtyřstěnu je tvořen čtyřmi stejnými rovnostrannými trojúhelníky. Jeden ze způsobů, jak můžeme čtyřstěn vymodelovat, je pomocí krychle jako na Obr. vz341. Vrcholy čtyřstěnu ACFH leží ve vrcholech krychle a hrany čtyřstěnu jsou tvořeny úhlopříčkami jejích stěn. Ze symetrie krychle vyplývá, že všechny trojúhelníky, které tvoří plášť čtyřstěnu (AFH, CFH, ACF a ACH) mají stejnou velikost a jsou rovnostranné, jedná se tedy o pravidelný čtyřstěn.

Posvítíme-li na takto vymodelovaný čtyřstěn přímo seshora, jeho stěna AFH se promítne jako stín ABD a stěna CFH jako stín CBD. Když spojíme tyto dva stíny dohromady, vznikne nám stín ABCD, shodný se čtvercovou podstavou krychle, ze které jsme čtyřstěn vymodelovali. Stejným způsobem se do podstavy promítnou i stěny ACF a ACH. Pravidelný čtyřstěn tedy může vrhat čtvercový stín.

Komentář: Spousta řešitelů sice dokázalo popsat, jak se musí čtyřstěn správně natočit, ovšem bezchybný důkaz měl málokdo. Je pravda, že hrany čtyřstěnu AC a FH při promítnutí do roviny jsou na sebe kolmé a tvoří úhlopříčky čtverce ABCD, ale toto pozorování obecně nestačí -- kvůli tomu musíme buď použít důkaz za pomoci krychle nebo spočítat úhly, které spolu stěny a hrany v čtyřstěnu svírají. Mezi řešitele, kteří si s úlohou poradili nejlépe, určitě patří Majda Nováková nebo Verča Menšíková.

Úloha č. 5

Na vrcholech čtyřstěnu jsou napsaná čísla. Na hrany napíšeme součin čísel v jejich koncových vrcholech a na stěny druhou mocninu protějšího vrcholu. Jestliže je součet čísel na stěnách x a ve vrcholech y, jaký je součet čísel na hranách?

Řešení: Hodnoty čísel ve vrcholech si označíme a, b, c, d. Součet čísel ve vrcholech je tedy y=a+b+c+d.

Označme z jako hodnotu součtu čísel na hranách. Všimneme si, že každé dva vrcholy spojuje právě jedna hrana. Čili pokud chceme vzít v potaz všechny hrany, tak stačí použít všechny dvojice vrcholů. Tedy z = ab+ac+ad+bc+bd+cd.

Co se týče čísel na stěnách, tak pro každý vrchol je právě jedna stěna, která je na hodnotě tohoto vrcholu závislá, a to ta naproti ní. Vzhledem k tomu, že hodnota každého z těchto čísel je vždy druhá mocnina příslušného vrcholu, tak získáme součet čísel na stěnách jako x = a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}.

Umocněním rovnice y=a+b+c+d na druhou získáme:

Tedy y^{2}=x+2z. Jelikož naším cílem je vyjádřit z za pomoci x a y, tak už nám stačí jen správně upravit tuto rovnici. Nejdříve odečteme x, z čehož nám vyjde: y^{2}-x=2z a následně vydělíme dvěma, čímž získáme: z = y^{2}-x/2, což je vztah, který jsme hledali.

Komentář: Úloha byla spíše jednodušší a naprostá většina zaslaných řešení byla správná.

Úloha č. 6

Máme tabulku 16\times 16 políček, ze které vyřežeme prostřední čtverec (2\times 2 políčka). Dá se plocha vydláždit pomocí T-ček?

Řešení: Jak skoro všichni řešitelé správně zjistili, tato plocha T-čky vydláždit nejde. Nejjednodušší postup, který také většina řešitelů s drobnými obměnami provedla, je sporem.

• Předpokládejme, že jsme plochu těmito T-čky vydláždili.

• Na vydláždění plochy o velikosti 16\times 16 - 4 bychom potřebovali 63 T-ček.

• Pokud si tabulku obarvíme jako šachovnici (aby žádná dvě stranou sousedící políčka neměla stejnou barvu), budeme mít 126 bílých a 126 černých políček.

• Každé T-čko má buď převahu bílých, nebo černých políček. Aby bylo bílých i černých políček stejně, musela by T-čka být v párech.

• Ale 63 nejde rozdělit do dvojic, takže ve všech šachovnicově obarvených útvarech z 63 T-ček bude mít jedna barva většinu, a proto zadaná tabulka z těchto T-ček vytvořit nejde.

Komentář: Většina řešitelů postupovala správně a zjistili, že tabulku opravdu nejde T-čky vydláždit. Zaujalo mě, že téměř všichni z T-ček složili čtverec jako na Obr. vz362 (asi pro snazší představu), přitom to na důkaz nemožnosti nemělo vliv (určitě to nebyla chyba, jen úvaha navíc).

Úloha č. 7

Paris pěstuje na okně v květináčích tymiány, ale pravidelně mu usychají. Vždy za 60 \over n dní, kde n je aktuální počet tymiánů, jeden uschne (když uschne v rámci nějakého dne, tak ten den prostě uschne). Na začátku jich má 11. Každé ráno se ale podívá, jestli nějaký tymián ten den uschne. Pokud ano, Paris jej vyhodí, ale koupí další dva (aby se pěstované množství nezmenšovalo). Od momentu nového nákupu zase začnou tymiány usychat. Na okno se vejde nejvíce 60 tymiánů. Kdy Paridovi spadne první tymián z okna?

Řešení: První tymián uschne za 60/11\doteq 5,45 dní. Když se tedy Paris po pěti dnech ráno podívá na okno, zjistí, že jeden tymián tento den uschne. Koupí tedy dva nové, takže se počet tymiánů o jedna zvýší.

Další tymián uschne za pět dní, pokud bude 60/n alespoň 5, neboli pokud 60/n\geq5, tedy 60\geq 5n a n\leq 60/5 = 12. To znamená, že další tymián uschne za 5 dní, když bude aktuální počet 11 nebo 12. Touto rychlostí budou tymiány usychat 2\cdot 5=10 dní -- pět dní pro n=11 i n=12.

Aby další tymián uschl za čtyři dny, musí platit 4\leq 60/n < 5. To znamená, že usychání bude trvat alespoň čtyři dny, ale už ne pět. Nerovnost 4\leq 60/n upravíme na n\leq 60/4=15. Tymiány budou tedy usychat jednou za čtyři dny, dokud jejich počet nepřekročí 15. Rychlostí jeden tymián za čtyři dny bude usychání (a nákup nových) postupovat, když bude n větší než 12 a nejvýše 15, takže takto uschnou 15-12=3 tymiány a bude jim to trvat 3\cdot 4 = 12 dní.

Obdobně, aby další tymián uschl za tři dny, musí platit 3\leq 60/n<4. Z 3\leq 60/n získáme n\leq 20. Počet tymiánů se bude zvyšovat o jeden za tři dny, dokud bude n větší než 15 a nejvýše 20. Touto rychlostí bude usychat 20-15=5 tymiánů a bude jim to trvat 5\cdot 3 = 15 dní.

Pro délku usychání dva dny musí platit 2\leq 60/n<3, takže n\leq 60/2=30. Takto tedy budou tymiány usychat, pokud jich bude nejvýše 30 a více než 20. Tomu odpovídá 30-20=10 hodnot, takže rychlostí jeden tymián za dva dny budou usychat 10\cdot 2 = 20 dní.

Pokud bude tymiánů více než 30 a nejvýše 60, hodnota 60/n bude vždy alespoň 1 a menší než 2, takže tymiány budou usychat rychlostí jeden za den. Takto jich může uschnout 60-30=30, takže jim to bude trvat 30\cdot 1 = 30 dní.

Uvědomme si, že 60/n určuje, za jak dlouho uschne další tymián poté, co je jejich počet n. Když je tymiánů 60 a další uschne, počet se zvýší na 61, takže jeden spadne. Toto usychání odpovídá n=60, takže je započítáno v 30 dnech usychání rychlostí tymiánu za den. Počet dní, než se tak stane, získáme jako součet počtů dob usychání jednotlivými rychlostmi: 10 + 12 + 15 + 20 + 30 = 87.

Komentář: Většina řešení byla správná a dobře zdůvodněná, ale v některých se opakovaly dvě chyby. První z nich bylo zaokrouhlování 60/n nahoru. To by odpovídalo situaci, kdy by se Paris díval, které tymiány už uschly. On ale vyhazoval i ty, které ten den teprve uschnou. Druhou častou chybou bylo přičítání jedničky k výsledku. To by bylo třeba, kdyby za 60/60 = 1 den uschl tymián číslo 59, ne 60.

Opravovali: 1. Anastasia Bredikhina, 2. Magdaléna Mišinová, 3. Klára Pernicová, 4. Adam Dřínek, 5. Antonín Hejný, 6. František Steinhauser, 7. Tomáš Flídr.