Nástiny řešení 3. série
Nepodařilo se Vám pohnout s nějakou úlohou? Rádi byste se podívali, jak se měla řešit, ale nechcete čekat na vzorová řešení? Právě proto jsme pro Vás připravili tyto Nástiny řešení. Ale pozor! Jsou to pořád jenom nástiny, pro řešení se inspirujte u normálních vzorových řešení s výsledky a úplnými důkazy.
Úloha 1 Označme počet chrámů Héry H, Athény T a Afrodity F. Ze zadání víme:
Z toho získáme H+150 = 2T = 6H-300, tedy H=90, tedy T=120. Dohromady mají 360 chrámů.
Úloha 2 Hráč vyhraje, když zmenší číslo na zemi na nulu. Podívejme se na zbytek čísla na zemi po dělení třemi. Pokud je k sudé, zbytek se zmenší o 1 (2^k je mocninou čtyř). Pokud je k liché, zmenší se o dva, tedy zvětší o jedna. Pokud je číslo na zemi alespoň 2, může druhý hráč odečíst tak, aby nové číslo bylo opět dělitelné třemi (pokud první hráč snížil zbytek o jedna, pak jej druhý o jedna zvýší a naopak). Pokud je na zemi 1, může ji druhý hráč odečíst a vyhrát.
Pokud bude druhý hráč hrát takto, po jeho tahu bude zbytek po dělení třemi vždy 0 a po tahu prvního tento zbytek nikdy nula nebude. První hráč tedy nevyhraje a druhý hráč má výherní strategii.
Úloha 3 Platí |\sphericalangle ACP|=|\sphericalangle ACB|-|\sphericalangle PCB| = 90^\circ -\varphi. V trojúhelníku CDP je součet vnitřních úhlů roven 180^\circ, a proto |\sphericalangle CPD|=90^\circ -\varphi. Trojúhelník ACP je díky dvěma stejným vnitřním úhlům rovnoramenný, tedy |AP|=|AC|.
Úloha 4 Ano, může.
Zvolme 2 hrany, které nemají společný vrchol. Položme čtyřstěn tak, aby obě byly rovnoběžné s podlahou - čtyřstěn tak stojí na jedné hraně.
Ze symetrie je jasné, že vzniklý stín má tvar čtverce. Vybrané hrany v něm tvoří úhlopříčky.
Úloha 5 Čísla ve vrcholech čtyřstěnu označme A,B,C,D. Pak x=A^2+B^2+C^2+D^2, y=A+B+C+D. Hledáme AB+AC+AD+BC+BD+CD, označme to z.
Úloha 6 Tabulku obarvíme jako šachovnici. Máme teď (16\cdot 16-4)/2=126 bílých a stejně tak černých políček. Celkem je potřeba (16\cdot 16-4)/4=63 T-ček. Každé T-čko zakryje 3 políčka jedné barvy a 1 políčko druhé barvy. Tedy nějaký lichý počet políček každé barvy v obou možnostech. 63 je liché číslo, tedy počet bílých polí, která T-čka pokryjí, je nějaké liché číslo (liché krát liché je liché). Ale bílých polí je sudý počet.
Není to možné.
Úloha 7 Když tymián uschne, jejich počet se zvýší o jedna. Když je jich 11, usychání trvá \frac{60}{11}\doteq 5,45 dne, takže další bude vyhozen za pět dní. Tento interval se zkrátí na čtyři, pokud bude n větší než \frac{60}{5}=12, na tři, pokud bude n>\frac{60}{4}=15 a tak dále. Rychlostí jeden za pět dní budou usychat dva tymiány (12 a 11), takže jim to bude trvat 2\cdot 5 = 10 dní. Rychlostí jeden za čtyři dny budou usychat 15-12=3 a bude jim to trvat 3\cdot 4=12 dní. Podobně můžeme postupovat až po jeden den. Jejich počet se na 61 dostane za součet těchto délek pro všechny počty dní usychání, 87.
