Nástiny řešení 1. série
Nepodařilo se Vám pohnout s nějakou úlohou? Rádi byste se podívali, jak se měla řešit, ale nechcete čekat na vzorová řešení? Právě proto jsme pro Vás připravili tyto Nástiny řešení. Ale pozor! Jsou to pořád jenom nástiny, pro řešení se inspirujte u normálních vzorových řešení s výsledky a úplnými důkazy.
Úloha 1 Můžeme si pro každé číslo napsat, se kterými dalšími čísly může být spojeno. Z toho vidíme, že číslo 5 může být spojeno pouze se dvěma dalšími (1 a 10). Musí tedy být ve vrcholu loga sousedícím pouze se dvěma dalšími vrcholy. Postupným procházením čísel, která mají málo možných sousedů, (např. 7, 14 a 8) můžeme najít řešení. Jedou možností je například
Úloha 2 Bohové hodili čísla 1, 2, 3, 4, 5 a 6. Héra a Hestia hodily třikrát víc než někdo jiný, takže obě hodily násobek trojky -- 3 nebo 6.
Pokud Héra hodila 3, Hádes hodil 1 a Poseidon 2. V tomto případě by ale Hestia hodila 6, takže Zeus by musel hodit znovu 2. Héra tedy musela hodit 6, Hádes 6:3=2 a Poseidon 2\cdot 2=4. Hestia hodila 3 a Zeus 3:3=1. Na Deméter zbylo poslední číslo, 5.
Úloha 3 Například pomocí trojúhelníkové mřížky můžeme zjistit, že možné rozstříhnutí vypadá takto:
Úloha 4 V původním čísle bylo 111 cifer (z 9 jednociferných a 51 dvouciferných čísel 1 až 60). Výsledné číslo tedy bude mít 11 cifer. Aby bylo nejvyšší, musí na co nejvyšších pozicích být číslice 9. V původním čísle je jich 6: z 9, 19, 29, 39, 49 a 59. Aby byly tyto devítky na co nejvyšších pozicích, necháme v čísle obě cifry z 60 za poslední devítkou. Všechny další cifry musí být před poslední devítkou, takže zbývající tři cifry budou mezi posledními dvěma devítkami. Nejvyšší takové trojčíslí je 7 z 57, 8 z 58 a 5 z 59. Nejvyšší možné číslo je 99\, 999\, 785\, 960.
Úloha 5 Takové rozestavení existuje například pro 4 mravence. Žádný mravenec nespadne, pokud do sebe budou pravidelně narážet a obracet se. Toho můžeme docílit například tak, že budou lozit po stranách čtverce jako na obrázku:
Všichni mravenci začnou na středech stran, dva polezou do levého horního rohu, druzí dva do pravého dolního.
Úloha 6 Aby plášť zůstal v jednom kuse, nechme v jednom kuse původní spodní podstavu kvádru. Abychom dokázali narovnat stěny vyříznutého "pluska", rozstříhněme horní podstavu na čtyři kusy. Výsledné rozložení může vypadat jako na obrázku. Zeleně je původní dolní podstava, modře boční stěny, fialově horní podstava a červeně stěny "pluska". Černé čáry znamenají, že čtverečky nemají společnou hranu, ale leží vedle sebe.
Úloha 7 Celkový počet procházek si označme x. Hlavoun byl na x-14 z nich, Chapoun na x-16. Nikdy nebyli na procházce oba, takže celkový počet procházek s alespoň jednou chobotnicí je součet počtu procházek, na kterých byl Hlavoun, s počtem procházek, na kterých byl Chapoun. Alespoň jeden byl na 18, takže platí 18 =x-14+x-16=2x-30. To upravíme na 48=2x a x=24.
