Nástiny řešení

Úloha 1: Domky dvou babiček, mezi kterými vede pěkná cestička, musí Karkulka navštívit hned po sobě. Pěkných cestiček je 5, takže domky, ke kterým žádná nevede, jsou 12 - 2\cdot 5 = 2. Mezi domky, ke kterým žádná pěkná cestička nevede, a dvojicemi, mezi kterými vede, může chodit v libovolném pořadí. Těchto samostatných domečků/dvojic spojených pěknou cestičkou je 5+2=7.

Od babičky Aničky má Karkulka ostatních šest domečků/dvojic na výběr, poté má zbývajících pět, a tak dále. Jejich pořadí je tedy 6! = 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 2 = 720.

U každé dvojice (případně kromě dvojice, ve které je Anička) si může vybrat, kterou z babiček navštíví dříve. Pokud je babička Anička ve dvojici, vybírá si ve čtyřech dvojicích a má celkem 2^4\cdot 720 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 \cdot 720 = 11\, 520 možností. Pokud není, vybírá si v pěti dvojicích a má dvakrát více, tedy 23\, 040 možností.

Úloha 2: Počet jablek, která zbyla Sněhurce minulý týden, si označme a. Ve dvou pytlích je tedy 7\cdot 5 + a = 35 + a jablek. Počet jablek ve dvou pytlích je sudý, takže a je liché. Zároveň je menší než 7. Tento týden koupila dvakrát více, takže jí zbyl zbytek po dělení sedmi z 2\cdot(35+a)=70+2a, tedy z 2a. Tento zbytek musí být menší než a. 2a je vždy větší, takže musí platit 2a\geq 7, tedy a\geq 3,5. Tomu vyhovuje jenom a=5 (zbytek z 2a = 10 je 3).

Ve dvou pytlích je tedy 35+5=40, v jednom 40:2=20.

Úloha 3: Čitatele zlomku označme x, jmenovatele y. Ze zvýšení o jedna platí \frac{x+1}{y+1}-\frac{x}{y} = \frac{1}{20}, to upravíme na y - x = \frac{y(y+1)}{20}. Obdobně z druhého zvýšení, dohromady o dva, víme \frac{x+2}{y+2}-\frac{x}{y} = \frac{1}{12}, upravením y-x = \frac{y(y+2)}{24}.

Dohromady \frac{y(y+1)}{20} = y-x = \frac{y(y+2)}{24}, vyřešením \frac{y(y+1)}{20} = \frac{y(y+2)}{24} získáme y=4.

Po dosazení 4 - x = \frac{4\cdot 5}{20} = 1, takže x=3 a původní zlomek byl \frac{3}{4}.

Úloha 4: Vyberme si jeden vrchol jako horní a hledejme rovnostranné trojúhelníky, ve kterých je. Můžeme si všimnout, že ostatní vrcholy jsou od něj ve třech vzdálenostech -- o jednu hranu, ob dvě stěny nebo přímo proti němu.

Rovnostranných trojúhelníků s horním vrcholem a nejbližšími vrcholy je pět, protože se jedná o stěny dvacetistěnu obsahující horní vrchol. Rovnostranných trojúhelníků s horním vrcholem a vrcholy ob dvě stěny je také pět, protože každému odpovídá jedna úhlopříčka pětiúhelníku z těchto vrcholů. Horní vrchol a vrchol přímo proti němu v žádném rovnostranném trojúhelníku s dalšími nejsou.

Horní vrchol si můžeme vybrat libovolně z 12, ale započítáním každého trojúhelníku pro každý jeho vrchol budou všechny trojúhelníky započítány třikrát, takže počet rovnostranných trojúhelníků je (5+5) \cdot 12 :3 = 40.

Úloha 5: Udělejme si náčrtek poskládání. Délku modré strany v centimetrech označme a, délku červené b a délku zelené c.

Ze zadání a náčrtku vidíme, že pro obdélník platí 2a + 2b = 23, pro rovnoběžník 2b+2c=32 a pro trojúhelník 2a+2c=25. Součtem získáme 4a+4b+4c=23+31+25=80, takže 2a+2b+2c=40. Odčítáním předchozích rovností se dostaneme k 2a + 2 b + 2c - (2a + 2b) = 40 - 23, takže 2c = 17 a c=17:2=8,5. Podobně a = 4 a b = 7,5.

Úloha 6: Udělejme si náčrtek. Trojúhelníky AXD a CDX mají společnou výšku z D, takže poměr délek protilehlých stran se rovná poměru obsahů, tedy \frac{|AX|}{|CX|} = \frac{9}{3} = 3.

Trojúhelníky AXB a CXD jsou díky rovnoběžnosti CD s AB podobné. Koeficient podobnosti je \frac{|AX|}{|CX|}= 3, takže obsah AXB je 3^2 = 9krát větší než obsah CXD, tedy je roven 9\cdot 3 = 27.

Z podobnosti mají délky |DX| a |XB| stejný poměr jako |CX| a |AX|, tedy |XB| je třikrát delší. Trojúhelníky CDX a CBX mají společnou výšku z C, takže obsah CBX je také třikrát větší, jeho obsah je 3\cdot 3 = 9.

Celkový obsah lichoběžníku je součet obsahů trojúhelníků, 3 + 9 + 27 + 9 = 48.

Úloha 7: Hrana této krychle se skládá z \sqrt[3]{64} = 4 krychliček, takže stěny krychle se skládají ze 4\cdot 4 = 16 stěn krychliček (dále čtverečků). Aby byla každá stěna z poloviny černá, musí na každé být 8 černých čtverečků, dohromady na celé krychli 8\cdot 6 = 48.

Nejvíce čtverečků na stěnách má osm rohových krychliček, celkem 8\cdot 3 = 24. Zbylých 24 čtverečků do 48 musí být na krychličkách, které mají nejvýše dvě stěny. Těch je potřeba 24:2=12. Nikdy nám tedy nebude stačit méně než 12 + 8=20 černých kostiček.

Pokud budou černé rohové kostičky a jedna další kostička z každé hrany, skutečně bude černá půlka každé stěny díky 20 kostičkám. Zbylých 64-20=44 může být bílých.