Nástiny řešení

Úloha 1: Označme S střed úsečky BC. Zároveň je to střed úsečky D_1E_1 a D_2E_2. Úsečka AS je díky tomu těžnice nejen v ABC, ale i v AD_1E_1 a AD_2E_2:

Úsečka M_1E_1 je také těžnicí trojúhelníku AD_1E_1, takže AS protíná v těžišti AD_1E_1. To leží v jedné třetině úsečky AS od S. V tomto bodě přitom leží i těžiště trojúhelníku ABC.

Obdobně to platí i pro M_2E_2: je těžnicí v AD_2E_2, takže protíná AS v těžišti trojúhelníku ABC.

M_1E_1 i M_2E_2 prochází těžištěm ABC, kterým nutně musí procházet i třetí z přímek, těžnice z vrcholu C.

Úloha 2: Jasmínino trojciferné číslo můžeme zapsat jako \overline{abc}, kde a, b a c jsou jednotlivé cifry. (Tedy a stovek, b desítek a c jednotek, nejedná se o součin.) Nové šesticiferné je potom \overline{abcabc} = \overline{abc000} + \overline{abc} = 1000\cdot \overline{abc} + \overline{abc} = 1001 \cdot \overline{abc}. Toto šesticiferné číslo je tedy vždy násobkem 1001 = 7\cdot 11\cdot 13, takže je dělitelné i 13.

Úloha 3: Bez rozdělení na ponožky a boty máme celkem 16! = 16\cdot 15\cdot \ldots \cdot 2\cdot 1 možností. Určením vzájemného pořadí boty a ponožky na jedné noze se počet možností zmenší na polovinu: možnosti pro ostatní boty a ponožky jsou stejné pro správné i špatné vzájemné pořadí jedné dvojice. To platí bez ohledu na to, jestli jsme už některé z těchto vzájemných pořadí určili. Nohou má pavouk 8, takže výsledný počet možností je \frac{16!}{2^8} = \frac{16\cdot 15\cdot \ldots \cdot 2\cdot 1}{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2} = 81\,729\,648\,000.

Úloha 4: Součet musí být 23 v těchto třech trojúhelnících:

Pokud sečteme dohromady součty čísel v těchto trojúhelnících, ve výsledném součtu budou čísla v prostředních třech (dvojitě šrafovaných) trojúhelníčcích dvakrát. Pokud si součet těchto tří čísel označíme s, bude platit 3\cdot 23 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + s = 45 + s, tedy s = 69 - 45 = 24. To je možné jen když s = 9 + 8 + 7.

Po rozmístění 9, 8 a 7 do těchto trojúhelníků musí mít zbylá dvě čísla v trojúhelnících součty 8, 7 a 6. Umístěním 6 a 5 a doplňováním možných součtů najdeme jediné dvě možnosti: 8 = 6 + 2; 6 = 5 + 1; 7 = 4+3 a 7 = 6+ 1; 8=5+3; 6=4+2.

Pro počet možností vybíráme z 3\cdot 2 = 6 možností rozmístění 9, 8 a 7, pro každý výběr dále ze dvou možností součtů. Pro každou možnost součtů můžeme v každém trojúhelníku prohodit 2 doplněná čísla. Máme tři trojúhelníky, takže tím dostaneme 2\cdot 2\cdot 2 = 8 možností. Celkový počet možností je tedy 6\cdot 2 \cdot 8 = 96.

Úloha 5: Podívejme se na jedno přepnutí. Podle počtu rozsvícených žárovek v řádku/sloupci se celkový počet rozsvícených žárovek změní o 4 (všechny zhasnuté nebo rozsvícené), 2 (1 zhasnutá a 3 rozsvícené nebo naopak), nebo 0 (2 zhasnuté a 2 rozsvícené).

Pokaždé se jedná o sudé číslo, takže při každém přepnutí zůstane počet rozsvícených žárovek sudý. Speciálně tedy nikdy nebude 3.

Úloha 6: Počet číslic dohromady je 13954:2 = 6977. Jednociferných čísel je 9, počet číslic v nich je 9\cdot 1 = 9. Dvojciferných čísel je 90, počet číslic v nich je 90\cdot 2 = 180. Trojciferných je 900 (od 100 do 999), počet číslic v nich je 900\cdot 3 = 2700.

Zatím jsme použili jenom 9+180+2700=2889 číslic, takže pro čtyřciferná (a případně vyšší) zbývá 6977-2889 = 4088 číslic. To odpovídá 4088:4=1022 čtyřciferným číslům, takže počet čísel (a skříněk) je 999+1022 = 2021.

Úloha 7: Pokud si prodloužíme boční stěny tohoto čtyřstěnu, největší možná koule se jich bude dotýkat. Díky pravidelnosti čtyřstěnu budou body dotyku uprostřed prodloužených stěn (na přímkách, na kterých leží těžnice původních stěn) a střed koule pod těžištěm podstavy spodní stěny čtyřstěnu.

Načrtněme si rovinu s vrcholem čtyřstěnu s mouchou (A), těžištěm podstavy (T), středem koule (S), středem jedné strany podstavy (M) a odpovídajícím bodem dotyku (X):

Výška MA stěny čtyřstěnu má z Pythagorovy věty délku \frac{\sqrt{3}}{2}. Těžiště rozděluje v rovnostranném trojúhelníku výšku v poměru 2:1, takže |TM| = \frac{\sqrt{3}}{2}:3 = \frac{\sqrt{3}}{6}. Z toho spočítáme i |AT| = \sqrt{|MA|^2-|MT|^2} = \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{3}{36}} = \sqrt{\frac{2}{3}}. Trojúhelníky ATM a AXS jsou pravoúhlé a mají společný úhel u A, takže jsou podobné.

Díky tomu \frac{|AS|}{|SX|} = \frac{|AM|}{|MT|}. Po označení poloměru koule r a přepsání |AS| = |AT|+r můžeme dosadit na \dfrac{\sqrt{\frac{2}{3}}+r}{r} = \dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{6}}=3. Po úpravě \sqrt{\frac{2}{3}} + r = 3 r, tedy 2r =\sqrt{\frac{2}{3}} a r = \sqrt{\frac{2}{3}}:2 = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6} \doteq 0.4082 (vše v metrech).