Nástiny řešení

Úloha 1: Můžeme posunout body E a B o délku úsečky EF doleva na E' a B'. Potom E' bude v F a B' bude na úsečce AB tak, že |AB'| = 9 - |EF|. Úsečky DF a EB jsou rovnoběžné, takže |DB'| = 6 + 4 = 10. Trojúhelník AB'D je pravoúhlý, takže můžeme Pythagorovou větou spočítat, že |AB'| = 6, takže |EF|=3.

Úloha 2: Dá se spočítat, kolik budou v 10:01 (deset hodin po začátku) ukazovat jednotlivé hodiny -- první se zpozdí o 10\cdot 20 = 200 minut, takže budou ukazovat 6:41, druhé 12:01 a třetí správně 10:01. První kukačka bude mít od 1 do 6 zakukání, dohromady 1+2+3+4+5+6=21, druhá od 1 do 12 dohromady 78 a třetí od 1 do 10 dohromady 55, takže celkem bude 154 zakukání.

Úloha 3: Mostů je 5, takže aby po mostě šli co nejvíckrát, půjdou po každém z pěti mostů oběma směry. Při prvním přechodu mají 5 možností, při přechodu zpět taky. Potom mají vždy o jednu možnost tam i zpátky méně, protože vybírají z mostů, po kterých nešli. Celkem potom mají 5\cdot 5 \cdot 4\cdot 4 \cdot 3\cdot 3 \cdot 2\cdot 2 \cdot 1\cdot 1 = 14400 možností.

Úloha 4: Dvě po sobě jdoucí čísla mají vždy největšího společného dělitele 1. Aby byl po odstranění n čísel větší, muselo by se odstranit každé druhé číslo. Potom by původní počet čísel byl nejvýše 2n+1. Pokud je n větší než jedna, 3n je větší než 2n+1, takže se nedá odstranit každé druhé číslo a největší společný dělitel je 1. (Nemůžeme odstranit "zhruba polovinu" čísel, pokud je "zhruba polovina" větší než jedna třetina.) Pokud n=1, můžeme odstranit prostřední číslo a nejvěší společný dělitel může být 2.

Úloha 5: Osmistěn si můžeme obarvit dvěma barvami tak, aby sousední stěny měly různou barvu. Protilehlé stěny potom budou mít různé barvy.

Na rovinu si můžeme nakreslit trojúhelníkovou síť a trojúhelníčky taky střídavě obarvit. Při jednom překlopení změníme barvu trojúhelníčku i stěny, takže stěnu jedné barvy nikdy nedostaneme na pozici, kde byla druhá barva. Odpověď na otázku úlohy je proto "ne".

Úloha 6: Jako prvního a druhého vyberme nějakou dvojici, která se nezná. Každý z nich má mezi ostatními 98 lidmi 50 známých. 98 nemůžeme rozdělit na dvě skupiny po 50, takže mají alespoň jednoho společného známého, toho vyberme třetího. Kromě tohoto třetího první dva znají každý 49 lidí ze zbývajících 97. Skupina 97 lidí nejde rozdělit na dvě po 49, takže mají i dalšího společného známého, kterého můžeme vybrat jako čtvrtého.

Úloha 7: Musí platit \frac{a}{b}-\frac{c}{d} = \frac{a-c}{b+d}. Po vynásobení obou stran b+d dostaneme

z toho \frac{ad}{b}-\frac{bc}{d} = 0. Vydělením bd přijdeme přímo na to, že \frac{a}{b^2}-\frac{c}{d^2}=0. Můžeme takto násobit a dělit, protože žádné z čísel b, d ani jejich součet není 0.