Zadání 6. série 35. ročníku

Termín odeslání: 11. 5. 2020

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.


11. 5. 2020

Šok. Tak by se dala popsat nálada ve středisku. „Takže oni letí sem...“ ozvalo se opatrně.

„To sice ano, ale musíme jim pomoct. Opravdu nechceme kolizi Země s jejich lodí.“

Všichni přítomní sotva dýchali. Bylo zřejmé, že nemají na výběr. Naštěstí už většina náčrtků pohonu byla zpracovaná a přípravy rakety započaly brzy po přečtení první zprávy o pomoc.

Když ale Dorotka šla oznámit nové informace na oddělení zabývající se vývojem pohonu, překvapila ji nečinnost vývojářů -- místo konstruování mimozemského pohonu přemýšleli nad nějakou hrou.

Úloha č. 1

Dva hráči hrají na šachovnici 8\times 8 hru. Každý z nich má čtyři figurky – první hráč na políčkách A7, A8, B7B8, druhý hráč na G1, G2, H1H2 (obr. zad611). Hráči se střídají v tazích, které vypadají následovně: Hráč na tahu si vybere jednu svoji figurku, s níž chce skočit, označme ji S. Potom si vybere druhou ze svých figurek, označme její políčko T. Potom s S skočí na políčko, které je obrazem políčka, na kterém S stojí, ve středové souměrnosti podle T. (Tedy například s figurkou na A8 může bílý hráč v prvním tahu skočit na políčko A6, C6 nebo C8.) Může figurka, která začínala na A8, vyhodit figurku, která začínala na H1? Figurka vyhodí druhou, pokud skočí na políčko, kde druhá už je.

Zprávy od Dorotky je však okamžitě přivedly na jiné myšlenky. Pohon podle všeho doopravdy fungoval, na nějaké složitější testování už ale nebyl čas. Náčrtky byly však velmi přesné a zatím všechny jejich předpovědi vycházely, takže vývojáři důvěřovali i zbytku. Jediný drobný zádrhel byla navigace konstruovaná pro obyvatele jiné planety.

Úloha č. 2

Nad kontrolním panelem se při jeho zapnutí objevila koule o poloměru 38 cm. Tato koule se dotýkala všech stran rovnostranného trojúhelníku o straně délky 126 cm. Pro správné nastavení kontrolního panelu bylo nutné dopočítat vzdálenost středu koule od roviny trojúhelníku.

„No teda!.“ vykřikl nadšeně velitel navigační sekce po otestování výsledku na počítačovém modelu, „všechno funguje tak, jak má. Nejen že dokážeme dostat raketu k nim, ale dokážeme s ní i komunikovat jenom s několikasekundovým zpožděním!.“ Usmál se na všechny kolem a odešel s tím, že musí říct řediteli, že místo astronautů riskujících životy bude stačit jeden z dálkově ovladatelných robotů PIKOSARu.

Napětí a nadšení bylo tak velké, že si možnost selhání mise a mimozemskou loď nekontrolovatelně mířící k Zemi nikdo nepřipouštěl. Ústředím agentury se Dorotka protlačila zpět k přijímači, kde konstruktéři nadšeně popisovali raketu, která poletí k Martoňanům.

Úloha č. 3

„Sériové označení této rakety se skládá ze třech čísel, která tvoří rostoucí aritmetickou posloupnost (to znamená, že rozdíl mezi prvním a druhým číslem je stejný jako mezi druhým a třetím). Dále platí, že součet těchto tří čísel je 18 a pokud k prvnímu číslu přičteme 1, vznikne geometrická posloupnost (tedy poměr mezi prvním a druhým bude stejný jako mezi druhým a třetím).“

Jaká čísla tvoří toto označení?

„Do rakety už je nový pohon plně implementován. Dle našich simulací všechno funguje správně. Vzdálenost mezi námi a jejich lodí překonáme za několik minut a dokonce se rychlostí přizpůsobíme martonské lodi. Pokud se nic nepokazí – což by nemělo – začneme odpočítávat zítra v devět hodin ráno.“

A opravdu. Druhý den ráno už bylo potřeba jenom zapnout všechny systémy lodi včetně ovládání martonského pohonu a přichystat odpalovací rampu.

Úloha č. 4

Rampu zvedá systém pěti ozubených koleček (po 10, 20, 25, 4560 zubech) na pěti hřídelích (tedy na každé je právě jedno kolečko). Kolika způsoby mohou být kolečka umístěna za sebou tak, aby se poslední hřídel otáčela čtyřikrát rychleji než první?

Po přípravě rampy už byl čas odstartovat raketu, uvnitř které byl dálkově ovladatelný robot Dovro-IV. Po odpočtu raketa sice téměř normálně vzlétla, ale o několik momentů později v důsledku aktivace martonského pohonu zmizela z očí pozorovatelů. Ti se jako jeden muž přesunuli do komunikační místnosti, kde obrazovky ukazovaly téměř aktuální pohled kamer rakety i robota.

Po chvilce nerozeznatelných obrazců střídaných černí vesmíru se v zorném poli objevil podivný objekt. Byl velký, zploštělý a kovově se leskl. Dav na Zemi zalapal po dechu.

„Jak se dostaneme dovnitř?“ pomyslela si Dorotka, když Dovro s raketou začínali kroužit kolem mimozemské lodě. Jako by martonská technologie dokázala přenést i tuto myšlenku, v boku lodi se ukázaly dveře, které se začaly otevírat do čtyř stran najednou.

Úloha č. 5

Zavřené dveře měly podobu čtverce. Tento čtverec byl pro účely otvírání rozdělen na čtyři čtyřúhelníkové pláty: všechny pláty se dotýkaly v jednom bodě uvnitř čtverce a každou stranu půlilo rozhraní dvou plátů (obr. zad621). Tři z plátů měly obsahy 20 cm^{2}, 32 cm^{2}16 cm^{2}. Jaký obsah měl poslední plát?

Otveřenými dveřmi centrála opatrně dostala modul s robotem dovnitř lodi, zjevně do přetlakové komory. Dovro zaregistroval zprávu podobnou vzkazům přijatým na Zemi: „Tady je Herebe Sari, provizorní mluvčí Urhaja. Slovy nelze vyjádřit, jak rád vás tady vidím. Počkejte chvíli, nastavím atmosféru podobnou vaší planetě.“

Po úspěšné odpovědi PIKOSARu, že zde mají pouze nedýchajícího robota, mohl Dovro jet dál.

„Omluvte mě prosím, ale abych s vámi mohl takto komunikovat, musím být u svého provizorního vysílače. Nemohu vás tedy přivítat na současném domově Martoňanů, na Urhaju. Dovedu vás k počítači, abyste nás mohli zachránit, více toho udělat nemůžu.“

Z počítače, ke kterému Dovro došel mnoha podivnými chodbami, byla vidět velká obrazovka a terminál označený neznámými symboly. „Zase si hraje s nějakou úlohou,“ vysvětloval Herebe Sari změť čar na obrazovce.

Úloha č. 6

Počítač má v paměti uloženo několik prvočísel, která se mohou i opakovat. Přitom platí, že jejich součin je 40krát větší než jejich součet. Jaká prvočísla to jsou? Najděte všechny možnosti.

„To, co je opravdu důležité, je tlačítko úplně vpravo na terminálu. Tím počítač vypnete a bude možné jej opravit.“

O několik sekund později dav na Zemi se zatajeným pohledem sledoval robotickou ruku pomalu stisknout malé tlačítko. Obrazovka zčernala a ustalo i několik do té doby sotva slyšitelných zvuků.

„Funguje to... Zachránili jste to, co zbylo z našeho národa, i část vaší planety, kterou by Urhajo zasáhlo. Teď už konečně můžu nahrát nový operační systém, který nebude tolik měnit sám sebe.“

Obrazovka počítače se opět rozsvítila a zobrazila nějaký znak, snad logo operačního systému, Martone nebo Herebe Sariho.

Úloha č. 7

Na obrazovce je pět různoběžných přímek. Úsečku mezi dvěma sousedními průsečíky na jedné přímce nazvěme cestička. Mezi průsečíky cestuje svítící kolečko tak, že se pohybuje pouze po cestičkách. Jaké je nejmenší číslo n takové, že se dokáže dostat z libovolného průsečíku do libovolného jiného pomocí nejvýše n cestiček?

Počítač nějakou dobu bzučel a ukazoval podobné změti čar, když došla další dobrá zpráva od martonského mluvčího: „Povedlo se to. Urhajo vaši planetu bez sebemenších problémů mine a bude pokračovat dál na své pouti vesmírem. Poputujeme, až dokud nenajdeme planetu, která by nám vyhovovala. Nebo dokud se poslední z nás nevzdají naděje a Urhajo se nestane nehybným vrakem v hlubinách kosmu. Tomu ale nevěřím. Po tom, jak daleko jsme se dostali a čím vším jsme i s vaší pomocí prošli, to dokážeme. A třeba se jednoho dne vrátíme na Martone, moudřejší a schopnější udržet naše bojechtivé sousedy dál od nás. Už nikdy více se nesmí stát, aby někdo chtěl zneužívat naše vynálezy pro svou válku. Chtěli náš pohon, který vás sem dnes dostal, zneužít k boji. To by mělo katastrofické následky nejen pro naši soustavu. Proto jsme museli odejít... Omlouvám se, nechal jsem se trochu unést. Mám pro vás o něco užitečnější návrh – co kdyby ten váš robot zůstal tady? Mohli bychom si předat spoustu zajímavých informací...“