Zadání 5. série 35. ročníku
Termín odeslání: 16. března 2020
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Tato část deníku byla po technické stránce v pořádku, takže nedočkavosti Dorotky a ostatních už nic nestálo v cestě.
16. 39. 6085
Dnes je opět všechno v pořádku. Trysky fungují správně, dýchatelná atmosféra nikde neuniká a systémy běží bez problému. Nepřestává mě udivovat, jak dokonale funguje náš palubní počítač. Už tolik martonských let jsme na cestě a k žádnému nebezpečí zvenku jsme se ani nepřiblížili.
18. 39. 6085
Nic nového. Největší novinkou tohoto roku zůstává vylepšení tvaru solárních panelů.
Úloha č. 1
Solární panel má tvar trojúhelníku. Z důvodu lepšího natáčení k různým zdrojům světla se skládá ze třech trojúhelníkových částí. Zároveň ale všechny tři menší trojúhelníky musí být podobné původnímu. Které trojúhelníky se takto dají rozdělit? Nezapomeňte zdůvodnit, proč to pro žádné jiné nejde.
21. 39. 6085
Čím dál víc se mi stýská po Martone. Zatímco tam jsem konstruoval a vymýšlel věci a myšlenky tak nádherné a odvážné jako Urhajo, zde je mou jedinou povinností řešení problémů. Od úplného zprovoznění Urhaja a vychytání drobných much se ale žádné velké nevyskytly. Ze šedi dnešního dne mě naštěstí vytrhl jeden z mých kolegů, Danes, když mluvil o svých oblíbených číslech.
Úloha č. 2
Všechna Danesova oblíbená čísla jsou přirozená. Aby bylo číslo x jeho oblíbené, musí počet dělitelů x sečtený s počtem dělitelů x-1 být 5. Najděte všechna Danesova oblíbená čísla.
24. 39. 6085
Jeden můj dobrý přítel, fyzik Adori, si mě dnes pozval do své laboratoře, abych mu pomohl vyřešit problém s vyvažováním. Nejde o nic, co by mohlo výrazně ovlivnit chod naší lodi, jen nějaké experimenty s dopravou uvnitř lodi.
Úloha č. 3
Adori má rovnoramenné váhy. Na jejich misky může pokládat tři závaží z různých kovů (o vahách 1, 2 a 3) a zároveň k nim může přivazovat balónky naplněné třemi různými lehkými plyny (které váhu misky zmenší o 1, 2 nebo 3). Adori se snaží najít každou dvojici balónek-závaží, která při přivázání/položení na jednu misku vah neovlivní polohu ramen. Experimentální váhy toho bohužel moc nevydrží, takže Adori může vážit pouze třikrát. Jak tyto dvojice najde? (Adori na začátku nerozezná jednotlivá závaží ani balónky.)
30. 39. 6085
Přece jen mám co dělat. Počítač vypadá, že má nějaký problém. Občas bezdůvodně neodpovídá nebo naopak v náhodné časy říká a zobrazuje nesmysly. Doufám, že je to jen nějaká malá chyba, překlep schovaný v některém z programů, který se projevil až dnes. Ať je příčina jakákoli, zítřek bude perný den.
31. 39. 6085
Je to horší, než jsem čekal. Když jsem k počítači přišel, některé pixely jeho obrazovky blikaly a vypadalo to, že sám se sebou hraje piškvorky. Hned jsem si domyslel, že to bude vážné. A taky že bylo. Nepodařilo se mi totiž zadat heslo.
Úloha č. 4
Původní přístupové heslo k palubnímu počítači bylo KOKOSKA. Počítač v něm nějak přeházel písmena a odmítá říct, jaké je nové heslo. Kolik těchto možných hesel je (včetně původního hesla)?
32. 39. 6085
Ráno, tedy až nepříjemně brzo po prolomení hesla, jsem si řekl, že dnešek nestrávím dalším zadáváním slov do počítače. Do jisté míry se mi to podařilo – celý den jsem procházel zdrojové kódy. Nejen, že to nebylo o nic zábavnější, ale ani jsem nic nenašel.
33. 39. 6085
Pokoušel jsem se jít hlouběji, do nejzákladnějších programů běžících na počítači, ale pořád nic. Všechno by mělo fungovat tak, jak má. Obávám se, že zítra už bude čas na zkoumání operačního systému, nejstarší části Urhaja, o které si všichni mysleli, že je úplně dokonalá. Když jsem dnes od počítače odcházel, zobrazil mi nějakou krychli.
Úloha č. 5
V každém vrcholu této krychle bylo napsáno jedno reálné číslo. Navíc se číslo v každém vrcholu rovnalo součtu čísel v sousedních vrcholech (vrcholech se společnou hranou). Dokažte, že pokud si čísla ve vrcholech jedné stěny krychle označíme postupně a, b, c, d, platí a + c = b + d.
34. 39. 6085
Operační systém jsem pomáhal napsat, takže jsem si myslel, že ho znám. Velmi rychle jsem se přesvědčil o svém omylu. Některé části jsem sice poznával, jiné ale byly natolik zamotané, že jsem začal pochybovat o jejich pravosti. Překvapivě aktivní byla ta část kódu, která měla zajišťovat automatické vylepšování počítače. Ale taky na ní něco nebylo v pořádku…
36. 39. 6085
Po dvou dnech podrobného zkoumání jsem našel chybu. Doopravdy se jednalo o překlep – překlep, kvůli kterému automatické vylepšování začalo místo do vedlejších částí kódu zapisovat do části sebe sama. A když už se pokazilo vylepšování, rychle začalo kazit i zbytek počítače. Teď už stačí počítač jen natvrdo resetovat a obnovit původní systém.
37. 39. 6085
Když jsem dnes přišel k počítači, chtěl po mně zvláštní věci.
Úloha č. 6
Počítač vyžadoval zadání délek stran jednoho trojúhelníku. Součet odmocnin délek dvou z jeho stran se má rovnat odmocnině z velikosti třetí strany. Existuje nějaký takový trojúhelník?
A jako by to nestačilo, ani se nenechá natvrdo resetovat. Dobře ví o všech předmětech na naší lodi a žádným z nich, včetně našich rukou, se nenechá vypnout. Úplně by nám teď stačil libovolný předmět z vesmíru kolem nás, kterým bychom mohli zmáčknout správné tlačítko. Jak jej ale získat, když počítač loď už nijak neovládá a letíme stále rovně?
38. 39. 6085
Tak přece se k jednomu takovému předmětu blížíme. Ale asi to nebude shledání takové, jaké bychom si přáli. Vlétli jsme do hvězdné soustavy a podle mých propočtů velmi zblízka uvidíme třetí planetu od hvězdy, která je zajímavě modrozelená. A bude to to poslední, co uvidíme.
41. 39. 6085
Na Urhaju samozřejmě zavládla panika a smutek. Pořád jsme ale dost daleko a letíme dost pomalu na to, abychom se planetě mohli vyhnout. Všiml jsem si satelitů na její oběžné dráze – co když je tam inteligentní život? S naší technologií by nás mohli zachránit! Vzkaz pro ně ale při problémech s palubním počítačem budu muset vytvořit ručně. Jako pro dovršení zmaru se mi pokazilo těžítko ve tvaru glóbu naší planety na podstavci. Zmenšené Martone spadlo z podstavce a koulelo se po nestabilní podlaze lodi po rozházených papírech.
Úloha č. 7
Glóbus má tvar koule. Jeho nultý poledník má délku 1 a pouští barvu, takže zanechává stopu. Glóbus spadl pólem na papíry na zemi a válí se na nich. Při tom se vždy překulí o polokružnici na druhý z pólů. Poté se překulí po další polokružnici a tak dále. Při tom platí, že mezi póly se koulí po jedné kružnici a nijak nezatáčí, neotáčí se na místě, ani se jinak nepřesunuje. Když se libovolný bod nultého poledníku dotkne papíru, zanechá na něm stopu.
Dokažte, že glóbus takto mohl nakreslit libovolný trojúhelník s celočíselnými délkami stran.
Na tomto místě končil deník a pokračoval ve spěchu napsaný vzkaz: „Přátelé, ať jste, kdo jste. Doufám, že z obou deníků chápete naši situaci a dokážete sestrojit pohon dostatečně rychlý, abyste se k nám dostali. Pokud se ocitnete blízko lodi, můžu vás dostat dovnitř. Jste naší poslední nadějí, obyvatelé modrozelené planety. Váš Herebe Sari.“
