Zadání 4. série 35. ročníku

Termín odeslání: 10. února 2020

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.

aktualizace: bylo změněno zadání 4. úlohy.

Tohle byla rozhodně úžasná zpráva. Nemělo smysl dále otálet a muselo se začít jednat. PIKOSAR začal obvolávat specialisty ze všech koutů světa a hledat cestu, jak dořešit i poslední kousky skládanky. Neustále se ale nedařilo sehnat odborníka na meziplanetární pohyb, neboť všichni byli plně zaneprázdnění jinou prací. Dorotka si naštěstí vzpomněla na svého kamaráda Toma, který se přesně tímto zabýval. Zábava začala, když od kolegyně chtěla pomoct se vzpomínáním na jeho číslo.

Úloha č. 1

Telefonní číslo neobsahuje nulu a skládá se ze třech trojčíslí. Dorotka si pamatovala, že se každé z těchto trojčíslí skládá ze třech různých čísel, které na klávesnici tlačítkového telefonu leží v jedné řadě (jejich středy leží na přímce). Její kolegyně si vzpomněla, že číslo nebylo dělitelné třemi, což Dorotku zarazilo. Mohla její kolegyně mít pravdu?

Ve výsledku byla celá práce k ničemu. Zrovna když si na číslo konečně vzpomněly, Tomáš se objevil ve dveřích. Ale nebyl čas na legraci. Museli se co nejrychleji pustit do práce, aby doplnili chybějící kousky skládanky. Dorotka chtěla zajít s Tomem k vedení seznámit ho se situací a vzít jej na testovací rampu za zbytkem týmu. Poté se museli vrátit zpátky, aby si prohlédli detaily. Tom se ale rád pohyboval dost svérázným způsobem – nejprve si prohlédl všechny možnosti, jak se dá někam dostat, a pak si hodil kostkou a šel tou cestou, která mu padla.

Úloha č. 2

Z Dorotčina pracoviště do kanceláře vedení vedou čtyři přímé cesty, z kanceláře k rampě také čtyři a mezi Dorotčiným pracovištěm a rampou vede ještě jedna přímá cesta. Kolika způsoby se může Tom dostat od Dorotčina pracoviště k rampě a zpět bez toho, aby šel některou cestou dvakrát?

Dorotce se nakonec nepovedlo se dostat zpět ke své práci, protože ji až moc zaujal problém, který zrovna řešili na rampě. V jedné části stroje totiž byl zajímavý kvádr. Technici potřebovali zjistit, jak dlouhá je jeho tělesová úhlopříčka. Dorotka neváhala a hned jim šla pomoct.

Úloha č. 3

O kvádru víme, že tři jeho stěnové úhlopříčky mají délku \def\cm{\,{\rm cm}}21\cm, 19\cm a 16\cm. Jaká je délka jeho tělesové úhlopříčky?

Naštěstí to nebylo zas tak těžké. Technici se teď mohli opět posunout dál, ale potřebovali nějaké papíry z trezoru. Dorotku jejich práce zaujala, takže se nabídla, že tam zajde. Když k trezoru došla, uvědomila si, že to možná nebyl úplně dobrý nápad. Dali jí sice kartičku, ale místo kódu na ní bylo jen několik nápověd.

Úloha č. 4

Kód k trezoru se skládá ze tří čísel v pevně daném pořadí. Na kartičce stálo, že:

Celý kód má dohromady sedm cifer.
Součet i součin prvního a posledního čísla je čtyřmístný.
Součet cifer prvních dvou čísel dohromady je 6.
Všechna tři čísla jsou prvočísla.
První i poslední číslice posledního čísla je dělitelná třemi.
Ciferný součet posledního čísla je stejný jako druhé číslo.
První dvojčíslo nejvyššího čísla je dělitelné deseti.

Jaký je kód?

Docela jí to trvalo, ale nakonec se do trezoru dostala. Ano, ale co vlastně potřebovali? V trezoru bylo mnoho stojanů plných papírů. Naštěstí v rohu seděli dva knihovníci, kteří si mezi sebou vyměňovali černé a bílé kuličky a neuvěřitelně se u toho hádali. Když se jich Dorotka zeptala, kde by dostala daný spis, tak jí odpověděli, že jí pomůžou, až se jeden z nich zbaví dostatečného počtu kuliček.

Úloha č. 5

Jeden z knihovníků má 10 bílých a 10 černých kuliček. S druhým, který má u sebe krabice plné těchto kuliček (předpokládejte, že mu nikdy nedojdou), vyměňuje kuličky dvěma způsoby. Buď za dvě bílé dostane jednu černou, nebo za tři černé jednu bílou. Může po nějakém počtu těchto výměn mít méně než tři kuličky? Pokud ano, jak? Pokud ne, proč?

Na to se Dorotce nechtělo čekat, a tak si radši složku hledala sama a dále je neřešila. Nakonec se jí to povedlo. Kromě toho byl na obalu dost zvláštní obrázek s vyznačenými obsahy a otazníky. Neodolala a než odnesla papíry zpět, rozhodla se problém nejprve vyřešit.

Úloha č. 6

Uprostřed je trojúhelník ABC (obr. zad461). K jeho stranám jsou zvnějšku připsané tři čtverce – ABKL, BCMN a CAOP. Dokažte, že trojúhelníky AOL, BKN a CPM mají stejný obsah.

Když si složky nesla kolem knihovníků, všimli si jejích výpočtů. Nechali si vysvětlit, co spočítala, a rozzářili se štěstím. Z nenápadné úlohy na složkách se vyklubal problém, který bránil vylepšení přijímače. Ten díky tomu mohli zprovoznit a PIKOSARu přišla další hromada dat. Byl mezi nimi opět deník a jeden nákres. Ta poslední věc, co jim chyběla k dokončení revolučního pohonu. Nákres bohužel nedošel v úplně dobrém stavu, a tak poprosili Dorotku, aby jim i tento poslední zádrhel dořešila.

Úloha č. 7

Máme krychli, jejíž stěny jsou zrcadla. Z jejího středu vyšleme paprsek. Pokud dopadne na zrcadlo, odrazí se ve stejné rovině a pod stejným úhlem. Pokud dopadne na hranu nebo do vrcholu krychle, zanikne. Chceme, aby se paprsek odrazil od všech stěn, vrátil se do středu a pokračoval ve směru, do něhož jsme ho původně poslali. Kam ho můžeme poslat? To, kam ho posíláte, popište pomocí prvního bodu krychle, od kterého se odrazí.

Teď už jim nic nebránilo pohybovat se po Sluneční soustavě v před týdnem ještě nepředstavitelném čase. Mohli se teď plně věnovat nově příchozímu deníku, od kterého očekávali vysvětlení, proč jim nějaká mimozemská civilizace posílá takto podivné zprávy, když nikdy předtím nic nezaznamenali.