Zadání 3. série 35. ročníku
Termín odeslání: 6. ledna 2020
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Než se zpráva přeložila, čas dosti pokročil. Dorotka se zeptala jednoho technika, kolik je hodin. Ten jí to řekl trochu tajemně.
Úloha č. 1
Právě je první okamžik po šesté hodině, kdy na ručičkových hodinkách budou obě ručičky na sobě. Kolik je hodin?
Dorotku to naštěstí nezarazilo, a tak brzy zjistila, kolik je hodin. Jen ji vyděsilo, kolik času překladem strávili. Bylo načase začít s přijatou zprávou i něco dělat. Kromě deníku dorazily i nějaké nákresy. Nejspíše na nich byly náčrtky důležitých součástí lodi. Dorotku zaujal jeden zapadlý, který vypadal velmi nezvykle. Bylo u něho napsáno „Zadat do databáze.“ Byl na něm rovnoběžník a označené úhly.
Úloha č. 2
V rovnoběžníku ABCD se osa úhlu u vrcholu A a osa úhlu u vrcholu B protínají v bodě E. Bod E leží na straně CD. Dokažte, že úhel AEB je pravý. (Obrázek je pouze orientační.)
Evidentně nejsou v matematice tak daleko jako my. Nebo se jen pokouší vytvořit novou databázi… Ale proč by to potom posílali? Poté si prohlédla několik dalších nákresů a zjistila, že jsou mezi nimi nějaké stroje, které poznává, ale jiné jí vůbec nic neříkaly. Vypadaly však velmi užitečně. Rozhodla se, že toto je důležitá informace, a tak zašla za svým kolegou, který se stará o pozemskou databázi vynálezů. Nenašla ho v jeho pracovně, ale zrovna něco dělal v serverovně. Když ho spatřila, neubránila se myšlence, kolik asi kombinací oblečení je schopen vytvořit, když nosí pokaždé tak pestrobarevné oblečení.
Úloha č. 3
Kolega má spoustu oblečení. Trička, kalhoty a klobouky. Od každého druhu oblečení má jeden kus červený, oranžový, zelený, modrý, fialový, žlutý, bílý a růžový. Má rád barvičky, takže nechce mít žádné dva kusy oblečení stejné barvy. Kolika způsoby se může obléct? (Od každého druhu oblečení si bere právě jeden kus.)
No teda, to je fakt hodně kombinací. Ale nebyl čas se rozptylovat, musela se věnovat povinnostem. Tato zpráva způsobila docela rozpaky. Po krátké prohlídce totiž i kolega našel nějaké stroje, u kterých vůbec netušil, jak vlastně fungují. U dalších měl nějakou představu, ale používaly pro pozemské vědce zatím neznámou technologii. Rozhodl se proto svolat mimořádnou poradu vývojového týmu s konstrukčním. Ale předtím potřeboval ještě od Dorotky pomoc s vytvořením trojúhelníku ze tří konektorů.
Úloha č. 4
V trojúhelníku ABC známe polohu následujících bodů: body dotyku kružnice vepsané a stran AB a AC, vrchol B. Zkonstruujte tento trojúhelník a zapište postup konstrukce.
To bylo docela jednoduché. Naštěstí už nic dalšího nechtěl, takže se Dorotka mohla vrátit ke své práci. Čekaly na ni na stole spousty propočtů drah a lokací z různých misí. Po několika složkách se dostala k jedné, která ji opravdu zarazila.
Úloha č. 5
Průzkumný robot sedí na okraji podstavy kuželu. Podstava kuželu má průměr 1 m. Vzdálenost robota od vrcholu kuželu je 3 m. Robot chce podniknout cestu kolem kuželu, aby se vrátil do původního bodu. Jakou nejkratší vzdálenost musí ulézt?
Tak to by bylo. Dorotka si uvědomila, že už dlouho nejedla, a rozhodla se vzít si jídlo k práci. Už nic neměla, tak se vydala do jídelny, kde narazila na mísu s rajčaty.
Úloha č. 6
Dorotka má v misce r rajčat. Vždy, když vyřeší úlohu, sní n rajčat. Vzhledem ke složitosti problémů hned poté někdo přijde a zdvojnásobí počet rajčat v míse. Po páté úloze v misce nezbyla žádná rajčata. Jaký je poměr r:n?
To už měla Dorotka vše hotové a vzhledem k tomu, kolik bylo hodin, odešla domů spát. Druhý den se šla podívat, jak dopadla velká porada. Zjistila, že její kolegové pracovali celou noc, ale teď už něco testují. Sestrojili ochranné zařízení a zjišťují, kdy se rozbije. Teoreticky si spočítali, že sto pater jim určitě bude stačit, ale musí to ještě vyzkoušet a celý tým je tedy na testovací rampě.
Úloha č. 7
Tým má dvě zařízení. Ví, že se rozbijí hodem z n-tého patra, kde n \leq 100, ale neví, kolik je n. Mají k dispozici stopatrovou rampu. Na zařízeních jim moc nezáleží, ale vážně chtějí zjistit hodnotu n. Jaké je nejmenší k takové, že bez ohledu na n zjistí jeho velikost nejvíce na k hodů?
Neuvěřitelné, kolik toho stihli za jednu noc. A to navíc nebylo všechno. Nákresy popisovaly i motor, který byl schopen dosáhnout velmi vysoké rychlosti. Větší než jakékoli, které jsme momentálně schopni dosáhnout. Nepodařilo se jim ho zatím celý rozluštit, ale i tak to bylo velmi zajímavé. Umožnil by lidstvu začít prozkoumávat vesmír daleko rychleji než dosud. Tohle rozhodně nebyla špatná zpráva.
